Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
f(x)=x2−4mx+4m2−2m+5f(x) = x^2 - 4mx + 4m^2 - 2m + 5 parabolünün tepe noktası,
y=x2−3x+2y = x^2 - 3x + 2
parabolünün üzerindedir.

Buna göre, mm gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -2
  2. B
    -1
  3. C
    −34-\frac{3}{4}
  4. D
    12\frac{1}{2}
  5. 1Cevap

Cevap

1
Parabolün tepe noktası olan T(2m,−2m+5)T(2m, -2m+5) koordinatları y=x2−3x+2y = x^2 - 3x + 2 denkleminde yerine yazıldığında 4m2−4m−3=04m^2 - 4m - 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökler toplamı ise −(−4)/4=1-(-4)/4 = 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) koordinatlarını mm cinsinden belirleme.
r=−−4m2=2mr = -\frac{-4m}{2} = 2m ve k=f(2m)=(2m)2−4m(2m)+4m2−2m+5=−2m+5k = f(2m) = (2m)^2 - 4m(2m) + 4m^2 - 2m + 5 = -2m + 5 olarak bulunur. Dolayısıyla tepe noktası T(2m,−2m+5)T(2m, -2m+5) noktasıdır.
Bir parabolün tepe noktasının apsisi r=−b/(2a)r = -b/(2a) ve ordinatı k=f(r)k = f(r) formülleriyle hesaplanır.
2
T(2m,−2m+5)T(2m, -2m+5) noktasının y=x2−3x+2y = x^2 - 3x + 2 parabolü üzerinde olma koşulunu uygulama.
−2m+5=(2m)2−3(2m)+2  ⟹  −2m+5=4m2−6m+2  ⟹  4m2−4m−3=0-2m + 5 = (2m)^2 - 3(2m) + 2 \implies -2m + 5 = 4m^2 - 6m + 2 \implies 4m^2 - 4m - 3 = 0 denklemi elde edilir.
Bir nokta bir eğri üzerinde yer alıyorsa, noktanın koordinatları eğri denklemini sağlamak zorundadır.
3
4m2−4m−3=04m^2 - 4m - 3 = 0 denklemini sağlayan mm değerlerinin toplamını bulma.
İkinci dereceden ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökler toplamı −b/a-b/a formülüyle bulunur. Burada a=4a=4, b=−4b=-4 olduğundan kökler toplamı −−44=1-\frac{-4}{4} = 1 olur.
İstenen mm değerlerinin toplamı, elde edilen ikinci dereceden denklemin kökler toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının koordinatlarının bulunması ve bir noktanın fonksiyon denklemini sağlama koşulu.

Alternatif Yöntem

f(x)=x2−4mx+4m2−2m+5f(x) = x^2 - 4mx + 4m^2 - 2m + 5 ifadesi, tam kareye tamamlama yöntemiyle f(x)=(x−2m)2−2m+5f(x) = (x - 2m)^2 - 2m + 5 şeklinde yazılabilir. Parabolün tepe noktası formu y=a(x−r)2+ky = a(x - r)^2 + k olduğundan, buradan tepe noktası doğrudan T(2m,−2m+5)T(2m, -2m + 5) olarak okunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Bu konudan daha fazla soru