Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKosinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir.

Bu uzunluklar arasında
a2−c2=b2+b⋅ca^2 - c^2 = b^2 + b \cdot c

bağıntısı olduğuna göre, AA açısının ölçüsü kaç derecedir?

  1. A
    30
  2. B
    60
  3. 120Cevap
  4. D
    135
  5. E
    150

Cevap

Açının ölçüsü 120 derecedir.
Verilen bağıntı düzenlenip Kosinüs Teoremi ile karşılaştırıldığında cos⁡(A)=−1/2\cos(A) = -1/2 eşitliği elde edilir. Üçgenin iç açısı olan AA için bu değeri sağlayan tek açı 120 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bağıntıyı düzenleyerek a2a^2 ifadesini yalnız bırakın.
a2=b2+c2+b⋅ca^2 = b^2 + c^2 + b \cdot c
Kosinüs Teoremi formülü ile doğrudan karşılaştırma yapabilmek amac��yla a2a^2 terimi yalnız bırakılmıştır.
2
Elde edilen bağıntıyı Kosinüs Teoremi formülüyle (a2=b2+c2−2bccos⁡(A)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)) karşılaştırın.
b2+c2+b⋅c=b2+c2−2bccos⁡(A)  ⟹  b⋅c=−2bccos⁡(A)b^2 + c^2 + b \cdot c = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \implies b \cdot c = -2bc \cos(A)
Her iki denklem de a2a^2 değerini verdiğinden sağ taraftaki ifadeler birbirine eşitlenir.
3
b⋅cb \cdot c ifadesini sadeleştirerek cos⁡(A)\cos(A) değerini yalnız bırakın.
cos⁡(A)=−12\cos(A) = -\frac{1}{2}
Üçgenin kenar uzunlukları olan bb ve cc sıfırdan büyük olduğundan sadeleştirme yapılabilir.
4
0∘<A<180∘0^\circ < A < 180^\circ aralığında kosinüs değeri −12-\frac{1}{2} olan açıyı bulun.
m(A^)=120∘m(\widehat{A}) = 120^\circ
Kosinüsü negatif olan bir üçgen açısı geniş açıdır ve cos⁡(120∘)=−cos⁡(60∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -1/2 bağıntısı gereği AA açısı 120 derecedir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi: Bir üçgende bir kenarın uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın uzunluklarının kareleri toplamından bu kenarların uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının iki katının çıkarılmasıyla bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru