Examkin

Soru

Zorluk: ZorTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2+af(x) = x^2 + a
g(x)=x3−3x2+4x+bg(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + b
eğrileri P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasında birbirine teğettir.

Bu eğrilerin ortak teğet doğrusunun denklemi y=4x−5y = 4x - 5 olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. A
    -18
  2. B
    -10
  3. C
    -5
  4. -2Cevap
  5. E
    0

Cevap

Ortak teğet noktası belirlenip fonksiyonlarda yerine yazıldığında a=−1a = -1 ve b=−1b = -1 bulunur, buradan a+b=−2a + b = -2 elde edilir.
Ortak teğet doğrusunun eğimi 44 olup, f′(x0)=4f'(x_0) = 4 eşitliğinden teğet noktasının apsisi x0=2x_0 = 2 olarak bulunur. Bu nokta teğet doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğruyu sağlar ve y0=3y_0 = 3 elde edilir. P(2,3)P(2,3) noktası her iki eğri denklemini de sağladığından a=−1a = -1 ve b=−1b = -1 bulunur, toplamları ise −2-2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak teğet doğrusunun eğimini belirleyip fonksiyonların teğet noktasındaki türevleriyle ilişkilendirelim.
Teğet doğrusu y=4x−5y = 4x - 5 olduğundan eğim m=4m = 4'tür. Dolayısıyla, f′(x0)=4f'(x_0) = 4 ve g′(x0)=4g'(x_0) = 4 olmalıdır.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alarak teğet noktasının apsisini (x0x_0) hesaplayalım.
f′(x)=2x⇒2x0=4⇒x0=2f'(x) = 2x \Rightarrow 2x_0 = 4 \Rightarrow x_0 = 2
Teğet noktasının apsisini bulmak için fonksiyonun türevini teğetin eğimine eşitleriz.
3
x0=2x_0 = 2 apsis değerinin g(x)g(x) eğrisi için de aynı eğimi verip vermediğini doğrulayalım.
g′(x)=3x2−6x+4⇒g′(2)=3(2)2−6(2)+4=12−12+4=4g'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \Rightarrow g'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 4 = 12 - 12 + 4 = 4
Eğriler aynı noktada birbirine teğet olduğu için bu noktada türev değerleri eşit olmalıdır.
4
Teğet noktasının ordinatını (y0y_0) bulmak için x0=2x_0 = 2 değerini ortak teğet doğrusunun denkleminde yerine yazalım.
y0=4(2)−5=3y_0 = 4(2) - 5 = 3
Teğet noktası ortak teğet doğrusu üzerinde yer aldığı için doğrunun denklemini sağlamalıdır.
5
P(2,3)P(2, 3) noktasının koordinatlarını f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarında yerine yazarak aa ve bb değerlerini bulalım.
f(2)=4+a=3⇒a=−1f(2) = 4 + a = 3 \Rightarrow a = -1 ve g(2)=8−12+8+b=3⇒4+b=3⇒b=−1g(2) = 8 - 12 + 8 + b = 3 \Rightarrow 4 + b = 3 \Rightarrow b = -1
Teğet noktası her iki eğrinin de üzerinde bulunduğundan eğri denklemlerini sağlamak zorundadır.
6
Bulunan aa ve bb değerlerini toplayarak sonucu bulalım.
a+b=(−1)+(−1)=−2a + b = (-1) + (-1) = -2
Soru bizden aa ve bb katsayılarının toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

İki eğrinin ortak teğet doğrusu yardımıyla teğet noktasının apsis ve ordinatının belirlenmesi ve türev-eğim ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru