Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSinüs Teoremi
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı RR birim olmak üzere,
c2=a2+b2−3abc^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab
sin⁡(A)⋅sin⁡(B)=38\sin(A) \cdot \sin(B) = \frac{3}{8}
ve R=4R = 4 birimdir.

Buna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevap: 6 birimkare

Cevap

ABC üçgeninin alanı 6 birimkaredir.
Verilen bağıntılardan Kosinüs Teoremi yardımıyla CC açısı 30∘30^\circ olarak bulunur. Sinüs Teoremi kullanılarak a⋅b=4R2sin⁡(A)sin⁡(B)a \cdot b = 4R^2\sin(A)\sin(B) eşitliği elde edilir ve buradan a⋅b=24a \cdot b = 24 hesaplanır. Üçgenin alanı ise 12absin⁡(C)\frac{1}{2}ab\sin(C) formülüyle 6 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs Teoremi yardımıyla C açısının ölçüsünü bulma.
C=30∘C = 30^\circ
c2=a2+b2−2abcos⁡(C)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) formülü ile verilen c2=a2+b2−3abc^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab bağıntısını karşılaştırarak cos⁡(C)=32\cos(C) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde ederiz.
2
Sinüs Teoremi yardımıyla a⋅ba \cdot b çarpımını bulma.
a⋅b=24a \cdot b = 24
a=2Rsin⁡(A)a = 2R\sin(A) ve b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) eşitliklerini taraf tarafa çarparak a⋅b=4R2sin⁡(A)sin⁡(B)a \cdot b = 4R^2\sin(A)\sin(B) bağıntısını kurar ve verilen RR ile çarpım değerlerini yerine yazarız.
3
Üçgenin alanını hesaplama.
Alan = 6
Sinüslü alan formülü olan Alan(ABC)=12absin⁡(C)\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2}ab\sin(C) bağıntısında elde edilen değerleri yerine koyarak alanı hesaplarız.

Anahtar Kavram

Sinüs ve Kosinüs Teoremlerinin birlikte kullanılarak üçgenin alanının hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru