Examkin

Soru

Zorluk: ZorKosinüs Teoremi

Şekildeki konveks ABCDABCD dörtgeninde;
∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim},
∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim},
∣CD∣=3 birim|CD| = 3\text{ birim},
∣DA∣=8 birim|DA| = 8\text{ birim} ve
m(ABC^)=120∘m(\widehat{ABC}) = 120^\circ dir.

Buna göre, ∣BD∣|BD| uzunluğu kaç birimdir?

  1. A
    353\sqrt{5}
  2. B
    73\sqrt{73}
  3. 7Cevap
  4. D
    97\sqrt{97}
  5. E
    8

Cevap

7
Kosinüs teoremi ardışık olarak iki kez uygulanıp ∣AC∣=7|AC| = 7 ve cos⁡(ADC^)=1/2\cos(\widehat{ADC}) = 1/2 elde edildikten sonra, karşılıklı açılar toplamı 180∘180^\circ olan bu kirişler dörtgeninde köşegenlerin çarpımı karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamına eşit olduğundan ∣BD∣|BD| uzunluğu 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde ∣AC∣|AC| uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(120∘)|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(120^\circ)
∣AC∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅(−12)|AC|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
∣AC∣2=9+25+15=49  ⟹  ∣AC∣=7 birim|AC|^2 = 9 + 25 + 15 = 49 \implies |AC| = 7\text{ birim}
İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen ABCABC üçgeninin üçüncü kenar uzunluğunu hesaplamak.
2
ADCADC üçgeninde ADC^\widehat{ADC} açısının kosinüsünü bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣2=∣AD∣2+∣CD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣CD∣⋅cos⁡(ADC^)|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |CD| \cdot \cos(\widehat{ADC})
72=82+32−2⋅8⋅3⋅cos⁡(ADC^)7^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos(\widehat{ADC})
49=64+9−48cos⁡(ADC^)49 = 64 + 9 - 48 \cos(\widehat{ADC})
49=73−48cos⁡(ADC^)  ⟹  48cos⁡(ADC^)=24  ⟹  cos⁡(ADC^)=1249 = 73 - 48 \cos(\widehat{ADC}) \implies 48 \cos(\widehat{ADC}) = 24 \implies \cos(\widehat{ADC}) = \frac{1}{2}
Buradan m(ADC^)=60∘m(\widehat{ADC}) = 60^\circ bulunur.
Üç kenar uzunluğu bilinen ADCADC üçgeninin tepe açısını belirlemek.
3
ABCDABCD dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamı incelenerek kirişler dörtgeni olup olmadığı kontrol edilir.
m(ABC^)+m(ADC^)=120∘+60∘=180∘m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ADC}) = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ
Karşılıklı açılarının toplamı 180∘180^\circ olduğu için ABCDABCD dörtgeni bir kirişler dörtgenidir.
Kirişler dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamı 180∘180^\circ olmalıdır.
4
Kirişler dörtgeninde köşegen uzunluğu bağıntısı (Ptolemy teoremi) uygulanarak ∣BD∣|BD| uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣⋅∣BD∣=∣AB∣⋅∣CD∣+∣BC∣⋅∣AD∣|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|
7⋅∣BD∣=3⋅3+5⋅87 \cdot |BD| = 3 \cdot 3 + 5 \cdot 8
7⋅∣BD∣=9+40=49  ⟹  ∣BD∣=7 birim7 \cdot |BD| = 9 + 40 = 49 \implies |BD| = 7\text{ birim}

(Alternatif olarak: Kirişler dörtgeninde cos⁡(DAB^)=cos⁡(BAC^+CAD^)=12  ⟹  m(DAB^)=60∘\cos(\widehat{DAB}) = \cos(\widehat{BAC} + \widehat{CAD}) = \frac{1}{2} \implies m(\widehat{DAB}) = 60^\circ bulunur. Ardından ABDABD üçgeninde Kosinüs Teoremi ile:
∣BD∣2=32+82−2⋅3⋅8⋅cos⁡(60∘)=9+64−24=49  ⟹  ∣BD∣=7 birim|BD|^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 9 + 64 - 24 = 49 \implies |BD| = 7\text{ birim} elde edilir.)
Kirişler dörtgeni kuralları veya trigonometrik toplam formülleriyle bilinmeyen köşegen uzunluğunu bulmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs teoremi yardımıyla bir üçgende kenar ve açılar arasındaki ilişkiler belirlenebilir. Karşılıklı açılarının toplamı 180∘180^\circ olan dörtgenler kirişler dörtgenidir ve bu dörtgenlerde köşegenler ile kenarlar arasında Ptolemy (Batlamyus) bağıntısı geçerlidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru