Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2+a+1f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1
g(x)=−x2+2bx−b2−b+5g(x) = -x^2 + 2bx - b^2 - b + 5
parabolleri veriliyor.

f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1T_1, g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2T_2'dir.

T1T_1 ve T2T_2 noktaları y=x−1y = x - 1 doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Cevap
  4. D
    10
  5. E
    12

Cevap

8 değeri doğrudur.
Doğru cevap olan 8 değeri, f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1(a,a+1)T_1(a, a+1) ve g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2(b,5−b)T_2(b, 5-b) olarak bulunduktan sonra, bu noktaların y=x−1y = x - 1 doğrusuna göre simetriklik şartları (b=4b = 4 ve a=2a = 2) uygulanarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının tepe noktalarının koordinatlarını parametrelere bağlı olarak bulalım.
f(x)=(x−a)2+a+1  ⟹  T1(a,a+1)f(x) = (x-a)^2 + a + 1 \implies T_1(a, a+1)
g(x)=−(x−b)2−b+5  ⟹  T2(b,5−b)g(x) = -(x-b)^2 - b + 5 \implies T_2(b, 5-b)
Parabollerin tepe noktalarını belirlemek, simetri kurallarını uygulamak için gereklidir.
2
T1T_1 ve T2T_2 noktalarının orta noktası olan MM noktasının koordinatlarını bulalım ve y=x−1y = x - 1 doğrusunun üzerinde olduğunu kullanalım.
M(a+b2,a−b+62)M\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a-b+6}{2}\right) noktası doğru denklemini sağlar:
a−b+62=a+b2−1  ⟹  a−b+6=a+b−2  ⟹  2b=8  ⟹  b=4\frac{a-b+6}{2} = \frac{a+b}{2} - 1 \implies a-b+6 = a+b-2 \implies 2b = 8 \implies b = 4
İki noktanın bir doğruya göre simetrik olması, bu noktaları birleştiren doğru parçasının orta noktasının simetri doğrusu üzerinde olmasını gerektirir.
3
T1T2T_1 T_2 doğru parçasının eğimini bularak simetri doğrusunun eğimiyle ilişkisini kuralım.
y=x−1y = x - 1 doğrusunun eğimi 11 olduğundan, ona dik olan T1T2T_1 T_2 doğrusunun eğimi −1-1 olmalıdır:
mT1T2=(5−b)−(a+1)b−a=4−a−bb−a=−1  ⟹  4−a−b=−b+a  ⟹  2a=4  ⟹  a=2m_{T_1 T_2} = \frac{(5-b) - (a+1)}{b-a} = \frac{4-a-b}{b-a} = -1 \implies 4-a-b = -b+a \implies 2a = 4 \implies a = 2
İki noktanın bir doğruya göre simetrik olması, bu noktaları birleştiren doğrunun simetri doğrusuna dik olmasını gerektirir.
4
Bulunan aa ve bb değerlerini çarparak sonucu elde edelim.
a⋅b=2⋅4=8a \cdot b = 2 \cdot 4 = 8
Soruda istenen a⋅ba \cdot b değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatları ile iki noktanın bir doğruya göre simetrik olma koşullarının (orta noktanın doğru üzerinde olması ve eğimler çarpımının -1 olması) birlikte uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Bu konudan daha fazla soru