Examkin

Soru

Zorluk: OrtaToplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Bir şirketin yeni tasarladığı amblem, yan yana dizilmiş 5 kareden oluşmaktadır. Bu amblem; mavi, yeşil, sarı ve kırmızı renklerinden biriyle, aşağıdaki kurallara göre boyanacaktır:

* Her bir kare yalnızca bir renge boyanacaktır.
* Yan yana olan (ardışık) herhangi iki kare farklı renkte olacaktır.
* Amblemin en solundaki kare ile en sağındaki kare aynı renkte olacaktır.

Buna göre, bu amblem kaç farklı şekilde boyanabilir?

Cevap: 84

Cevap

Amblem toplam 84 farklı şekilde boyanabilir.
Amblem boyama işlemi iki ayrı duruma ayrılarak incelenir. İlk durumda ikinci ve dördüncü karelerin aynı renkte olduğu varsayılır ve çarpım kuralıyla 36 durum bulunur. İkinci durumda ise bu iki karenin farklı renklerde olduğu varsayılarak 48 durum elde edilir. Bu iki durum bağımsız ve ayrık olduğundan, toplama yoluyla sayma kuralı uygulanarak toplamda 84 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Karelerin adlandırılması ve durumların belirlenmesi
Kareler soldan sağa 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 olarak adlandırılır. 1.1. ve 5.5. karelerin renkleri aynı olmalıdır (c1=c5c_1 = c_5). Hesaplama, 2.2. ve 4.4. karelerin aynı renkte veya farklı renklerde olması durumlarına göre ikiye ayrılır.
Birbiriyle komşu olan karelerin renk seçimlerinin bağımlılığını yönetmek için durum analizi yapılmalıdır.
2
2.2. ve 4.4. karelerin aynı renkte olduğu durumun hesaplanması
4×3×1×3=364 \times 3 \times 1 \times 3 = 36 farklı durum.
1.1. kare için 44 renk, 2.2. kare için 33 renk seçilebilir. 4.4. kare 2.2. kare ile aynı olacağından 11 seçeneği vardır. 3.3. kare ise 2.2. kareden farklı olmalıdır (33 seçenek).
3
2.2. ve 4.4. karelerin farklı renklerde olduğu durumun hesaplanması
4×3×2×2=484 \times 3 \times 2 \times 2 = 48 farklı durum.
1.1. kare için 44, 2.2. kare için 33 renk seçilebilir. 4.4. kare hem 5.5. (yani 1.1.) kareden hem de 2.2. kareden farklı olacağından 22 seçeneğe sahiptir. 3.3. kare ise hem 2.2. hem de 4.4. kareden farklı olacağından 22 seçeneğe sahiptir.
4
Durumların toplanması
36+48=8436 + 48 = 84 farklı boyama.
İki durum birbirini dışlayan ayrık olaylar olduğundan, toplama yoluyla sayma ilkesi uygulanır.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma İlkeleri
Bu soruyu puanla

Konular

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Bu konudan daha fazla soru