Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
(x−1)2(x+3)(x−2)x−2≥0\frac{(x - 1)^2 (x + 3)(x - 2)}{x - 2} \geq 0
x2−2x−3≤0x^2 - 2x - 3 \leq 0
yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 3

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 33'tür.
Eşitsizlik sistemini oluşturan iki eşitsizliğin çözüm kümeleri sırasıyla [−3,∞)∖{2}[-3, \infty) \setminus \{2\} ve [−1,3][-1, 3] olarak bulunur. Bu iki kümenin kesişimi [−1,3]∖{2}[-1, 3] \setminus \{2\} aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar −1,0,1,3-1, 0, 1, 3 olup, toplamları 33 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz etme ve çözüm kümesini bulma.
x≠2x \neq 2 olmak üzere, çözüm kümesi [−3,∞)∖{2}[-3, \infty) \setminus \{2\}'dir.
Payda sıfır olamayacağı için x≠2x \neq 2 olmalıdır. x−2x-2 terimleri sadeleştiğinde geriye kalan (x−1)2(x+3)≥0(x-1)^2(x+3) \geq 0 eşitsizliğinde x=1x=1 çift katlı kök olup eşitsizliği sağlar, geriye kalan terimden ise x≥−3x \geq -3 elde edilir.
2
İkinci eşitsizliği analiz etme ve çözüm k��mesini bulma.
Çözüm kümesi [−1,3][-1, 3]'tür.
x2−2x−3≤0x^2 - 2x - 3 \leq 0 ifadesi (x−3)(x+1)≤0(x-3)(x+1) \leq 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Başkatsayı pozitif olduğundan köklerin iç bölgesi [−1,3][-1, 3] çözüm kümesidir.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerini kesiştirme ve tam sayı değerlerini toplama.
Tam sayıların toplamı 33 olarak bulunur.
[−3,∞)∖{2}[-3, \infty) \setminus \{2\} ile [−1,3][-1, 3] kümelerinin kesişim kümesi [−1,3]∖{2}[-1, 3] \setminus \{2\}'dir. Bu aralıktaki tam sayılar −1,0,1,3-1, 0, 1, 3 olup toplamları 33'tür.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri