Examkin

Soru

Zorluk: ZorTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2+x+2f(x) = x^2 + x + 2
g(x)=−x2+3x+1g(x) = -x^2 + 3x + 1

eğrilerinin her ikisine de teğet olan doğrulardan birinin yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
  1. 2Cevap
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

Ortak teğet doğrularından birinin y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 2 olabilir.
Ortak teğet doğrularının denklemleri y=x+2y = x + 2 ve y=3x+1y = 3x + 1 olarak elde edilir. Bu doğruların y-eksenini kestiği noktaların ordinatları sırasıyla 2 ve 1'dir. Seçeneklerde verilen 2 değeri, bu ortak teğetlerden birinin y-eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak teğet doğrusunun denklemini y=mx+ny = mx + n olarak kabul edip, bu doğrunun f(x)=x2+x+2f(x) = x^2 + x + 2 parabolüne teğet olma koşulunu yazalım.
x2+(1−m)x+2−n=0x^2 + (1-m)x + 2-n = 0 denkleminin diskriminantı Δ1=0\Delta_1 = 0 olmalıdır. Buradan 4n=−m2+2m+74n = -m^2 + 2m + 7 elde edilir.
Bir doğrunun parabole teğet olması için ortak çözüm denkleminin çift katlı kökü olmalı, yani diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır.
2
y=mx+ny = mx + n doğrunun g(x)=−x2+3x+1g(x) = -x^2 + 3x + 1 parabolüne teğet olma koşulunu yazalım.
x2+(m−3)x+n−1=0x^2 + (m-3)x + n-1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ2=0\Delta_2 = 0 olmalıdır. Buradan 4n=m2−6m+134n = m^2 - 6m + 13 elde edilir.
Aynı teğet doğrusunun ikinci parabole de teğet olması için bu ortak çözümün de diskriminantı sıfır olmalıdır.
3
Elde edilen iki 4n4n ifadesini birbirine eşitleyerek ortak teğet doğrularının eğimleri olan mm değerlerini bulalım.
−m2+2m+7=m2−6m+13  ⟹  2m2−8m+6=0  ⟹  m2−4m+3=0  ⟹  m=1-m^2 + 2m + 7 = m^2 - 6m + 13 \implies 2m^2 - 8m + 6 = 0 \implies m^2 - 4m + 3 = 0 \implies m = 1 veya m=3m = 3 bulunur.
Her iki teğet koşulunu da sağlayan ortak eğim değerlerini bulmak amacıyla denklemler ortak çözülür.
4
Bulunan mm değerlerini kullanarak teğet doğrularının y-eksenini kestiği noktaların ordinatları olan nn değerlerini hesaplayalım.
m=1m = 1 için 4n=−(1)2+2(1)+7=8  ⟹  n=24n = -(1)^2 + 2(1) + 7 = 8 \implies n = 2 bulunur. m=3m = 3 için 4n=−(3)2+2(3)+7=4  ⟹  n=14n = -(3)^2 + 2(3) + 7 = 4 \implies n = 1 bulunur.
nn değeri, doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. Seçeneklerde 2 değeri yer almaktadır.

Anahtar Kavram

İki eğrinin ortak teğet doğrularının bulunması ve türevin geometrik yorumu
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru