Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=14x2+6f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 6
g(x)=−14x2+4g(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4
fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

ff fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir AA noktasından çizilen teğet doğrusu ile gg fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir BB noktasından çizilen teğet doğrusu dik kesişmektedir.

Bu teğet doğruları yy ekseni üzerindeki bir PP noktasında kesi��tiğine göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?

Cevap: 5

Cevap

Kesişim noktasının ordinat�� 5'tir.
Soruda verilen fonksiyonların türevleri alınıp teğet eğimleri çarpımı −1-1'e eşitlendiğinde ab=4ab=4 elde edilir. Teğetlerin yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları eşitlenirse a2+b2=8a^2+b^2=8 denklemine ulaşılır. Buradan a2=4a^2=4 bulunur ve kesişim noktasının ordinatı 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktalarını değişkenler cinsinden yazma
A(a,14a2+6)A\left(a, \frac{1}{4}a^2+6\right) ve B(b,−14b2+4)B\left(b, -\frac{1}{4}b^2+4\right)
Teğet noktalarının koordinatlarını belirlemek i��in genel formüller yazılır.
2
Türev yardımıyla teğet eğimlerini hesaplama
m1=a2m_1 = \frac{a}{2} ve m2=−b2m_2 = -\frac{b}{2}
Teğet doğrusunun eğimi, değme noktasındaki türev değerine eşittir.
3
Doğruların diklik şartını uygulama
ab=4ab = 4
Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.
4
Kesişim noktasının y ekseni üzerinde olma şartını kullanma
a2+b2=8a^2 + b^2 = 8
Teğetlerin yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları birbirine eşit olmalıdır.
5
Elde edilen denklem sisteminden teğet noktalarının apsislerinin karelerini bulma
a2=4a^2 = 4 ve b2=4b^2 = 4
a2+b2=8a^2+b^2=8 ve a2b2=16a^2b^2=16 eşitlikleri çözüldüğünde tam kare ifade elde edilir.
6
Kesişim noktasının ordinatını bulma
5
a2=4a^2=4 değeri teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinat ifadesinde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, dik kesişen doğruların eğimleri ilişkisi ve analitik geometri uygulamaları.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru