Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası TT olan
f(x)=−x2+bx+cf(x) = -x^2 + bx + c
parabolünün simetri ekseni x=3x = 3 doğrusudur.

Bu parabol y-eksenini AA noktasında, x-eksenini ise pozitif tarafta B(8,0)B(8, 0) noktasında kesmektedir.

Buna göre, AA ve TT noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

  1. A
    2
  2. 3Cevap
  3. C
    4
  4. D
    -3
  5. E
    6

Cevap

Doğrunun eğimi 3'tür.
Doğru cevap olan seçenekteki değer, parabolün simetri ekseni r=3r = 3 kullanılarak b=6b = 6 ve parabol üzerindeki B(8,0)B(8, 0) noktası kullanılarak c=16c = 16 değerlerinin bulunmasıyla elde edilir. Bu değerlerle y-eksenini kesen nokta olan A(0,16)A(0, 16) ve tepe noktası olan T(3,25)T(3, 25) koordinatları belirlenir. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi hesaplandığında sonuç 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri ekseni formülü kullanılarak b değeri hesaplanır.
b=6b = 6
Parabolün simetri ekseni x=r=3x = r = 3 olarak verilmiştir. r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülünde a=−1a = -1 ve r=3r = 3 yazılırsa 3=−b2(−1)⇒b=63 = -\frac{b}{2(-1)} \Rightarrow b = 6 elde edilir.
2
Parabolün üzerindeki B(8, 0) noktası kullanılarak c değeri hesaplanır.
c=16c = 16
f(x)=−x2+6x+cf(x) = -x^2 + 6x + c denkleminde B(8,0)B(8, 0) noktası yerine yazıldığında f(8)=0f(8) = 0 olmalıdır. Buradan −(8)2+6(8)+c=0⇒−64+48+c=0⇒c=16-(8)^2 + 6(8) + c = 0 \Rightarrow -64 + 48 + c = 0 \Rightarrow c = 16 bulunur.
3
A ve T noktalarının koordinatları belirlenir.
A(0,16)A(0, 16) ve T(3,25)T(3, 25)
Parabol y-eksenini AA noktasında kestiği için x=0x = 0 yazılırsa A(0,16)A(0, 16) olur. Tepe noktası T(r,k)T(r, k) için r=3r = 3 ve k=f(3)=−(3)2+6(3)+16=25k = f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 16 = 25 olduğundan T(3,25)T(3, 25) elde edilir.
4
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü uygulanır.
m=3m = 3
A(0,16)A(0, 16) ve T(3,25)T(3, 25) noktalarından geçen doğrunun eğimi m=y2−y1x2−x1=25−163−0=93=3m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{25 - 16}{3 - 0} = \frac{9}{3} = 3 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatları, simetri ekseni ilişkisi ve iki noktası bilinen doğrunun eğimi.

Alternatif Yöntem

Genel olarak y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c parabolünün y-eksenini kestiği nokta A(0,c)A(0, c) ve tepe noktası T(r,k)T(r, k)'dır. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi m=k−cr−0=ar2+br+c−cr=ar+bm = \frac{k - c}{r - 0} = \frac{ar^2 + br + c - c}{r} = ar + b olur. r=−b2a⇒ar=−b2r = -\frac{b}{2a} \Rightarrow ar = -\frac{b}{2} olduğundan, bu eğim her zaman m=−b2+b=b2m = -\frac{b}{2} + b = \frac{b}{2} değerine eşittir. Soruya göre a=−1a = -1 ve r=3r = 3 olduğundan 3=−b2(−1)⇒b=63 = -\frac{b}{2(-1)} \Rightarrow b = 6 bulunur. Dolayısıyla eğim doğrudan b2=62=3\frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Bu konudan daha fazla soru