Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBasit Olayların Olasılığı

Dik koordinat düzleminde, köşeleri A(0,3)A(0, 3), B(0,0)B(0, 0), C(4,0)C(4, 0) ve D(4,3)D(4, 3) noktaları olan bir dikd��rtgen verilmiştir. Bu dikdörtgenin sınırları üzerinde veya iç bölgesinde bulunan ve her iki koordinatı da tam sayı olan tüm noktalardan rastgele biri seçiliyor.

Buna göre, seçilen noktanın orijine olan uzaklığının en fazla 33 birim olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    \dfrac{2}{5}
  2. B
    \dfrac{9}{20}
  3. C
    \dfrac{1}{2}
  4. \dfrac{11}{20}Cevap
  5. E
    \dfrac{3}{5}

Cevap

Seçilen noktanın orijine olan uzaklığının en fazla 3 birim olma olasılığı 11/20'dir.
Seçilen noktanın orijine olan uzaklığının en fazla 3 birim olma koşulu, x² + y² ≤ 9 eşitsizliğini sağlayan 11 noktanın bulunması ve toplam nokta sayısının 20 olması nedeniyle 11/20 olasılık değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayı belirleme
Dikdörtgenin sınırları ve içindeki tam sayı koordinatlı noktaların kümesi S = {(x, y) | x ∈ {0,1,2,3,4} ve y ∈ {0,1,2,3}} şeklindedir. Toplam nokta sayısı s(S) = 5 × 4 = 20'dir.
Olasılık hesabında tüm olası durumların sayısını bulmak için örnek uzayın eleman sayısını belirlememiz gerekir.
2
Koşulu matematiksel olarak ifade etme
Bir (x, y) noktasının orijine (0,0) olan uzaklığı d = √(x² + y²) formülüyle hesaplanır. d ≤ 3 koşulu, x² + y² ≤ 9 eşitsizliğine denktir.
İstenen olaya ait noktaları tespit edebilmek için uzaklık sınırını bir eşitsizlik olarak yazarız.
3
Koşulu sağlayan noktaları belirleme
x değerlerine göre eşitsizliği sağlayan y tam sayılarını bulalım:
- x = 0 için: y² ≤ 9 ⇒ y ∈ {0, 1, 2, 3} (4 nokta)
- x = 1 için: 1 + y² ≤ 9 ⇒ y² ≤ 8 ⇒ y ∈ {0, 1, 2} (3 nokta)
- x = 2 için: 4 + y² ≤ 9 ⇒ y² ≤ 5 ⇒ y ∈ {0, 1, 2} (3 nokta)
- x = 3 için: 9 + y² ≤ 9 ⇒ y² ≤ 0 ⇒ y = 0 (1 nokta)
- x = 4 için: 16 + y² ≤ 9 sağlanamaz (0 nokta)
Toplamda istenen koşulu sağlayan 11 nokta vardır.
İstenen olayın eleman sayısını bulmak için tüm olası x değerleri için eşitsizliği sağlayan y değerlerini tek tek inceleriz.
4
Olasılığı hesaplama
Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Durumların Sayısı) = 11 / 20
Basit olayların olasılığı formülünü uygulayarak sonucu buluruz.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Koordinat Düzleminde Nokta Sayma
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Olayların Olasılığı

Bu konudan daha fazla soru