Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π2,2π3)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right) olmak üzere,
a=1csc⁡x−cot⁡x−1csc⁡x+cot⁡xa = \frac{1}{\csc x - \cot x} - \frac{1}{\csc x + \cot x}
b=sin⁡x1+cos⁡x+cot⁡xb = \frac{\sin x}{1 + \cos x} + \cot x
c=cos⁡x1−sin⁡x−tan⁡xc = \frac{\cos x}{1 - \sin x} - \tan x
olarak tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

  1. c<a<bc < a < bCevap
  2. B
    c<b<ac < b < a
  3. C
    a<c<ba < c < b
  4. D
    a<b<ca < b < c
  5. E
    b<a<cb < a < c

Cevap

Doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Verilen aralıkta her bir ifade özdeşlikler yardımıyla en sade haline getirildiğinde a=2cot⁡xa = 2\cot x, b=csc⁡xb = \csc x ve c=sec⁡xc = \sec x olarak bulunur. x∈(π2,2π3)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right) aralığında bb pozitif değer alırken, aa ve cc negatif değerler alır. Negatif değerlerden c=sec⁡x≤−2c = \sec x \le -2 aralığında yer alırken, a=2cot⁡xa = 2\cot x değeri −2-2 ile 00 arasında (yaklaşık olarak −1.15-1.15 ile 00 arasında) yer alır. Bu durumda c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesinin paydalarını eşitleyerek ortak paydada yazınız.
a=2cot⁡xa = 2\cot x
csc⁡2x−cot⁡2x=1\csc^2 x - \cot^2 x = 1 temel özdeşliği kullanılarak ifadenin paydası 11 yapılır ve sadeleşme sağlanır.
2
bb ifadesinde cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} yazarak paydaları eşitleyiniz.
b=csc⁡xb = \csc x
Pay kısmındaki sin⁡2x+cos⁡2x+cos⁡x=1+cos⁡x\sin^2 x + \cos^2 x + \cos x = 1 + \cos x ifadesi paydadaki çarpanla sadeleşir ve tek bir fonksiyon elde edilir.
3
cc ifadesinde tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} yazarak paydaları eşitleyiniz.
c=sec⁡xc = \sec x
Pay kısmındaki cos⁡2x+sin⁡2x−sin⁡x=1−sin⁡x\cos^2 x + \sin^2 x - \sin x = 1 - \sin x ifadesi paydadaki çarpanla sadeleşir.
4
x∈(π2,2π3)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right) aralığı için sadeleştirilen fonksiyonların değer aralıklarını ve işaretlerini belirleyerek karşılaştırınız.
c<a<bc < a < b
İkinci bölgede 2cot⁡x2\cot x negatif ve −1.15-1.15 ile 00 arasında, csc⁡x\csc x pozitif ve 11 ile 1.1551.155 arasında, sec⁡x\sec x ise negatif ve −2-2 veya daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler Yardımıyla Sadeleştirme ve Bölgelere Göre Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru