Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları
Bir göldeki alg (su yosunu) kaplı alanın büyüklüğü, göle kimyasal atık karışmaya başladıktan itibaren geçen süreye bağlı olarak üstel artış göstermektedir. tt gün cinsinden geçen süreyi belirtmek üzere, göldeki alg kaplı alan A(t)A(t) (m2m^2 cinsinden)
A(t)=A0⋅(15)k⋅tA(t) = A_0 \cdot (1{}5)^{k \cdot t}
formülüyle modellenmektedir. Bu formülde A0A_0 başlangıçtaki alg kaplı alanı (m2m^2), kk ise gölün kirlilik katsayısını temsil eden pozitif bir gerçel sayı sabitidir.

Kimyasal atık karışmaya başladığı anda alg kaplı alanı 80 m280\text{ m}^2 olan göldeki bu alan 4 gün sonra 180 m2180\text{ m}^2 olduğuna göre, göldeki alg kaplı alanın 405 m2405\text{ m}^2 olması için başlangıçtan itibaren toplam kaç gün geçmesi gerekir?

  1. A
    6
  2. B
    9
  3. 8Cevap
  4. D
    10
  5. E
    12

Cevap

Göldeki alg kaplı alanın 405 metrekare olması için başlangıçtan itibaren toplam 8 gün geçmesi gerekir.
Kimyasal atık miktarına bağlı büyüme modeli A(t)=80⋅(15)05tA(t) = 80 \cdot (1{}5)^{0{}5t} olarak elde edilir. Bu modelde alanın 405 metrekareye ulaşması için gereken süre (15)05t=81/16(1{}5)^{0{}5t} = 81/16 denkleminin çözülmesiyle bulunur. 81/16=(15)481/16 = (1{}5)^4 olduğundan 05t=40{}5t = 4 ve buradan t=8t = 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç anındaki (t=0t=0) alg alanını formülde yerine yazarak modeli belirleyin.
A(0)=A0=80A(0) = A_0 = 80 metrekaredir.
Başlangıç değeri A0 parametresini doğrudan belirlemektedir.
2
t=4t=4 gün sonraki alg alanının 180 m2180\text{ m}^2 olduğu bilgisini kullanarak katsayı kk değerini bulun.
A(4)=80⋅(15)4k=180⇒(15)4k=18080=94=(15)2⇒4k=2⇒k=05A(4) = 80 \cdot (1{}5)^{4k} = 180 \Rightarrow (1{}5)^{4k} = \frac{180}{80} = \frac{9}{4} = (1{}5)^2 \Rightarrow 4k = 2 \Rightarrow k = 0{}5 bulunur.
Gölün kirlilik katsayısı olan kk değerinin hesaplanarak modelin tamamlanması gerekir.
3
Alg alanının 405 m2405\text{ m}^2 olmasını sağlayan tt süresini k=05k=0{}5 değerini yerine yazarak bulun.
A(t)=80⋅(15)05t=405⇒(15)05t=40580=8116=(15)4⇒05t=4⇒t=8A(t) = 80 \cdot (1{}5)^{0{}5t} = 405 \Rightarrow (1{}5)^{0{}5t} = \frac{405}{80} = \frac{81}{16} = (1{}5)^4 \Rightarrow 0{}5t = 4 \Rightarrow t = 8 gün elde edilir.
Üstel denklem çözülerek hedef alana ulaşılması için gereken süre bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel büyüme modellerinde başlangıç değeri ve büyüme katsayısı kullanılarak üstel denklemlerin çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları