Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅tan⁡xb=cos⁡x⋅cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \tan x \\ b &= \cos x \cdot \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1aa
  2. 2bb
  3. 3cc

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen aralıkta sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x negatif iken tan⁡x>1\tan x > 1 ve 0<cot⁡x<10 < \cot x < 1 olmaktadır. Bu durumda cc ifadesi iki negatifin çarpımından pozitif olur ve en büyüktür. aa ve bb değerleri negatif olup, a−ba - b farkının negatif çıkmasından ötürü a<ba < b sıralaması elde edilir. Dolayısıyla doğru sıralama en küçükten en büyüğe a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığına göre trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaret ve büyüklüklerini belirlemek.
Bu aralıkta açı koordinat düzleminin 3. bölgesindedir. Dolayısıyla sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 olur. Ayrıca bu alt aralıkta sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 ve 0<cot⁡x<1<tan⁡x0 < \cot x < 1 < \tan x koşulları sağlanır.
Trigonometrik ifadelerin çarpımlarının yönünü ve işaretlerini tayin edebilmek için temel aralık özelliklerini belirlemek gerekir.
2
aa, bb ve cc değerlerinin işaretlerini incelemek.
a=sin⁡x⋅tan⁡xa = \sin x \cdot \tan x ifadesi negatif bir say�� ile 1'den büyük pozitif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir (a<0a < 0). b=cos⁡x⋅cot⁡xb = \cos x \cdot \cot x ifadesi negatif bir sayı ile 0 ile 1 arasındaki pozitif bir sayının çarpımı oldu��undan negatiftir (b<0b < 0). c=sin⁡x⋅cos⁡xc = \sin x \cdot \cos x ifadesi iki negatif sayının çarpımı olduğundan pozitiftir (c>0c > 0).
Pozitif olan cc değerinin en büyük olduğunu doğrudan görebilmek ve negatif olan aa ile bb değerlerini kendi arasında karşılaştırmak üzere gruplamak.
3
aa ve bb negatif sayılarının büyüklüklerini karşılaştırmak için a−ba - b farkını incelemek.
a−b=sin⁡2xcos⁡x−cos⁡2xsin⁡x=sin⁡3x−cos⁡3xsin⁡xcos⁡xa - b = \frac{\sin^2 x}{\cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x} = \frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{\sin x \cos x} ifadesinde, sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 olduğundan pay kısmı sin⁡3x−cos⁡3x<0\sin^3 x - \cos^3 x < 0 olur. Payda ise sin⁡xcos⁡x>0\sin x \cos x > 0 olur. Dolayısıyla a−b<0a - b < 0 yani a<ba < b elde edilir.
Matematiksel olarak iki negatif ifadenin hangisinin daha küçük olduğunu fark yöntemiyle kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru