Bir hastaya enjekte edilen bir ilacın vücutta kalan miktarı miligram (mg) cinsinden, enjek… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir hastaya enjekte edilen bir ilacın vücutta kalan miktarı miligram (mg) cinsinden, enjeksiyondan itibaren geçen süre $t$ saat olmak üzere,

M(t) = M_0 \cdot (0,8)^t

fonksiyonu ile modellenmektedir. Burada $M_0$ , ilacın başlangıçtaki miktarıdır.

Hastaya enjekte edilen ilacın vücuttaki miktarının, başlangıçtaki miktarının %32'sine düştüğü tespit edilmiştir.

Buna göre, enjeksiyondan itibaren yaklaşık kaç saat geçmiştir? (Bu hesaplamada $\log_{10} 2 \approx 0,3$ alınız.)

Geçen süre yaklaşık 5 saattir.

İlacın vücutta kalan miktarı başlangıçtaki miktarın %32'sine eşitlendiğinde

(0,8)^t = 0,32

denklemi elde edilir. Bu denklemin her iki tarafının 10 tabanında logaritması alındığında

\log(0,8) \approx -0,1

\log(0,32) \approx -0,5

değerleri bulunur. Buradan

t \cdot (-0,1) \approx -0,5

eşitliği çözüldüğünde enjeksiyondan itibaren geçen süre yaklaşık 5 saat olarak hesaplanır.

İlacın kalan miktarının başlangıçtaki miktarın %32'si olmasına yönelik matematiksel denklem kurulur.

M_0 \cdot (0,8)^t = 0,32 \cdot M_0 \implies (0,8)^t = 0,32

Vücutta kalan ilacın oranını model denklemine eşitleyerek bilinmeyen süre parametresini yalnız bırakmaya başlamak.

Eşitliğin her iki tarafının 10 tabanında logaritması alınır ve üs kuralı uygulanır.

\log(0,8^t) = \log(0,32) \implies t \cdot \log(0,8) = \log(0,32)

Bilinmeyen üssel ifadeyi doğrusal bir çarpana dönüştürmek amacıyla logaritmanın

\log(a^b) = b \cdot \log(a)

özelliğini kullanmak.

Ondalık sayılar rasyonel sayılara çevrilerek logaritmanın bölme ve üs kuralları yardımıyla açılır.

\log(0,8) = \log\left(\frac{8}{10}\right) = \log 8 - \log 10 = 3\log 2 - 1

\log(0,32) = \log\left(\frac{32}{100}\right) = \log 32 - \log 100 = 5\log 2 - 2

\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b

\log(a^n) = n\log a

kurallarını uygulayarak terimleri verilen

\log 2

cinsinden ifade etmek.

Soruda verilen

\log 2 \approx 0,3

değeri yerlerine yazılarak yaklaşık sayısal değerler hesaplanır.

\log(0,8) \approx 3(0,3) - 1 = 0,9 - 1 = -0,1

\log(0,32) \approx 5(0,3) - 2 = 1,5 - 2 = -0,5

Logaritmik ifadelerin yaklaşık ondalık karşılıklarını bularak bölme işlemine hazır hale getirmek.

Bulunan yaklaşık değerler ana denklemde yerine yazılarak süre hesaplanır.

t \cdot (-0,1) \approx -0,5 \implies t \approx 5

Bilinmeyen süre değişkenini elde etmek için basit doğrusal denklemi çözmek.

Üstel modellerin çözümünde logaritma özelliklerinin ve logaritmik yaklaşık değerlerin kullanımı

Soru