Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Dik koordinat düzleminde, başkatsayıları sırasıyla 11 ve −1-1 olan f(x)f(x) ve g(x)g(x) parabollerinin simetri eksenleri sırasıyla x=r1x = r_1 ve x=r2x = r_2 doğrularıdır.

f(x)f(x) parabolünün tepe noktası g(x)g(x) parabolünün üzerinde, g(x)g(x) parabolünün tepe noktası ise f(x)f(x) parabolünün üzerindedir.

Bu iki parabolün tepe noktaları arasındaki uzaklık 3103\sqrt{10} birim olduğuna göre, bu parabollerin simetri eksenleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevap: 3 birim

Cevap

Parabollerin simetri eksenleri arasındaki uzaklık 3 birimdir.
Parabollerin tepe noktaları birbirlerinin grafikleri üzerinde bulunduğundan, dikey koordinat farkı yatay koordinat farkının karesine eşit olmak zorundadır. Bu ilişki iki nokta arasındaki uzaklık formülünde yerine yazıldığında elde edilen dördüncü dereceden denklem çözülerek simetri eksenleri arasındaki yatay uzaklık 3 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin tepe noktalarını tanımlama ve denklemleri oluşturma
f(x)=(x−r1)2+k1f(x) = (x - r_1)^2 + k_1 ve g(x)=−(x−r2)2+k2g(x) = -(x - r_2)^2 + k_2
Tepe noktaları ve başkatsayılar bilindiğinde parabol denklemleri en kolay tepe noktası formuyla yazılır.
2
Tepe noktalarının birbirinin üzerinde olması koşulunu uygulama
k2−k1=(r1−r2)2k_2 - k_1 = (r_1 - r_2)^2
T1(r1,k1)T_1(r_1, k_1) noktasının koordinatlarının g(x)g(x) denklemini sağlaması gerekir.
3
Simetri eksenleri arasındaki uzaklık değişkenini (dd) tanımlama
d=∣r1−r2∣d = |r_1 - r_2| ve k2−k1=d2k_2 - k_1 = d^2
Soru bizden simetri eksenleri arasındaki yatay uzaklığı istemektedir.
4
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kurma ve denklemi çözme
d4+d2=90  ⟹  d=3d^4 + d^2 = 90 \implies d = 3
T1T_1 ve T2T_2 noktalarının koordinat farklarının kareleri toplamı, aralarındaki uzaklığın karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatları ile simetri ekseni arasındaki cebirsel ve geometrik ilişkiler
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Bu konudan daha fazla soru