Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri

40 cm uzunluğundaki bir tel iki parçaya ayrılıyor. Bu parçalardan biriyle bir kare, diğeriyle ise bir kenar uzunluğu 4 cm olan bir dikdörtgen yapılıyor.

Buna göre, elde edilen kare ve dikdörtgenin alanları toplamının alabileceği en küçük değer kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Cevap: 48 cm^2

Cevap

Karenin ve dikdörtgenin alanları toplamının alabileceği en küçük değer 48 olur.
Kare ve dikdörtgenin alanları toplamını veren T(x)=x216−2x+64T(x) = \frac{x^2}{16} - 2x + 64 fonksiyonu kolları yukarı doğru olan bir parabol belirtir. Bu fonksiyonun en küçük değeri tepe noktasının ordinatıdır. Tepe noktasının apsisi r=16r = 16 olup bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük alan 48 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kare için kullanılan tel parçasına xx cm diyelim. Bu durumda karenin bir kenar uzunluğu x4\frac{x}{4} cm ve alanı Akare=(x4)2=x216A_{\text{kare}} = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16} cm2\text{cm}^2 olur.
Karenin alanı: x216\frac{x^2}{16}
Telden kare yapıldığında çevre uzunluğu telin boyuna eşit olur, alan ise kenar uzunluğunun karesidir.
2
Kalan 40−x40-x cm uzunluğundaki tel parçası ile bir kenarı 4 cm olan bir dikdörtgen oluşturulur. Dikdörtgenin diğer kenar uzunluğuna bb dersek çevre uzunluğu 2(4+b)=40−x  ⟹  8+2b=40−x  ⟹  b=16−x22(4 + b) = 40 - x \implies 8 + 2b = 40 - x \implies b = 16 - \frac{x}{2} cm olur. Dikdörtgenin alanı ise Adikdo¨rtgen=4⋅(16−x2)=64−2xA_{\text{dikdörtgen}} = 4 \cdot \left(16 - \frac{x}{2}\right) = 64 - 2x cm2\text{cm}^2 olarak bulunur.
Dikdörtgenin alanı: 64−2x64 - 2x
Çevre formülünden bilinmeyen kenar uzunluğu ��ekilerek alan formülünde yerine yazılır.
3
Toplam alan fonksiyonunu T(x)=Akare+Adikdo¨rtgen=x216−2x+64T(x) = A_{\text{kare}} + A_{\text{dikdörtgen}} = \frac{x^2}{16} - 2x + 64 olarak yazalım. Bu fonksiyonun en küçük değerini bulmak için tepe noktasının apsisini (rr) hesaplayalım: r=−−22⋅116=16r = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{16}} = 16 bulunur.
Tepe noktası apsisi r=16r = 16
Kollar yukarı doğru olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.
4
Bulduğumuz r=16r = 16 değerini toplam alan fonksiyonunda yerine yazarak en küçük alanı hesaplayalım: T(16)=16216−2(16)+64=16−32+64=48T(16) = \frac{16^2}{16} - 2(16) + 64 = 16 - 32 + 64 = 48 cm2\text{cm}^2 bulunur.
En küçük alan: 48
Fonksiyonun alabileceği en küçük değer, tepe noktasının ordinatı olan k=T(r)k = T(r) değeridir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) kapalı veya açık bir aralıkta alabileceği en küçük (minimum) değeri bulma.

Alternatif Yöntem

Türevin limit tanımı ve türev kuralları biliniyorsa, toplam alan fonksiyonu olan T(x)=x216−2x+64T(x) = \frac{x^2}{16} - 2x + 64 fonksiyonunun birinci türevi sıfıra eşitlenerek yerel ekstremum (minimum) noktası bulunabilir: T′(x)=2x16−2=0  ⟹  x8=2  ⟹  x=16T'(x) = \frac{2x}{16} - 2 = 0 \implies \frac{x}{8} = 2 \implies x = 16 olur. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında minimum alan T(16)=48T(16) = 48 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri

Bu konudan daha fazla soru