Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−5x+2f(x) = x^2 - 5x + 2
parabolünün x=ax = a apsisli noktasındaki teğet doğrusu ile
g(x)=x3−3x2+x+2g(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2
eğrisinin x=2x = 2 apsisli noktasındaki normal doğrusu birbirine paraleldir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

  1. A
    1
  2. 2Cevap
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Parabolün teğet doğrusu ile eğrinin normal doğrusunun paralel olmasını sağlayan bilinmeyen apsis değeri 2'dir.
Verilen g(x)g(x) eğrisinin x=2x=2 noktasındaki teğetinin eğimi g′(2)=1g'(2) = 1 olarak hesaplanır. Teğet ile normal birbirine dik olduğundan normalin eğimi −1-1 olur. f(x)f(x) parabolünün x=ax=a noktasındaki teğetinin eğimi ise f′(a)=2a−5f'(a) = 2a - 5 değerine eşittir. Bu iki doğrunun paralel olması, eğimlerinin eşit olmasını gerektirir. Buradan 2a−5=−12a - 5 = -1 denklemi kurulur ve a=2a = 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=x3−3x2+x+2g(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2 fonksiyonunun türevi alınarak x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi (mtm_t) hesaplanır.
g′(x)=3x2−6x+1g'(x) = 3x^2 - 6x + 1 olup, x=2x = 2 için g′(2)=3(2)2−6(2)+1=1g'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 1 = 1 bulunur.
Bir eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
g(x)g(x) eğrisinin x=2x = 2 noktasındaki normal doğrusunun eğimi (mnm_n) hesaplanır.
mn=−1g′(2)=−11=−1m_n = -\frac{1}{g'(2)} = -\frac{1}{1} = -1 olur.
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1).
3
f(x)=x2−5x+2f(x) = x^2 - 5x + 2 parabolünün türevi alınarak x=ax = a noktasındaki teğetinin eğimi yazılır.
f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5 olup, x=ax = a noktasındaki teğet eğimi f′(a)=2a−5f'(a) = 2a - 5 olur.
Parabolün teğetinin eğimi, parabol denkleminin o noktadaki türev değeridir.
4
Paralel doğruların eğimlerinin eşitliği kullanılarak aa değeri hesaplanır.
f′(a)=mn  ⟹  2a−5=−1  ⟹  2a=4  ⟹  a=2f'(a) = m_n \implies 2a - 5 = -1 \implies 2a = 4 \implies a = 2 elde edilir.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, teğet ve normal doğrularının eğim ilişkileri ve paralel doğruların eğim eşitliği.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru