Examkin

Soru

Zorluk: ZorArtan ve Azalan Fonksiyonlar
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=x2−2(k−2)x+5f(x) = x^2 - 2(k - 2)x + 5
fonksiyonu [3,∞)[3, \infty) aralığında artandır.
g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
g(x)=(k−7)x2+4x−3g(x) = (k - 7)x^2 + 4x - 3
fonksiyonu (−∞,1](-\infty, 1] aralığında artandır.

Buna göre, kk gerçek sayısı kaçtır?

Cevap: 5

Cevap

k gerçek sayısı 5'tir.
Verilen f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının sırasıyla [3,∞)[3, \infty) ve (−∞,1](-\infty, 1] aralıklarında artan olabilmesi için parabollerin tepe noktaları ve yönleri analiz edilmelidir. f(x)f(x)'in baş katsayısı pozitif olduğundan tepe noktasının sağında artandır; bu durum k−2≤3  ⟹  k≤5k-2 \le 3 \implies k \le 5 olmasını gerektirir. g(x)g(x)'in sol yarıda artan olabilmesi için kollarının aşağı doğru olması gerekir, bu da k<7k < 7 demektir. Bu durumda g(x)g(x) tepe noktasının solunda artan olup, rg≥1  ⟹  27−k≥1  ⟹  k≥5r_g \ge 1 \implies \frac{2}{7-k} \ge 1 \implies k \ge 5 elde edilir. Her iki koşulu da sağlayan yegane değer k=5k = 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun artanlık aralığından kk için bir sınır bulunması.
k≤5k \le 5
f(x)=x2−2(k−2)x+5f(x) = x^2 - 2(k-2)x + 5 parabolünün baş katsayısı pozitif olduğundan kolları yukarı doğrudur. Parabolün tepe noktası rf=k−2r_f = k-2 olup, [rf,∞)[r_f, \infty) aralığında artandır. [3,∞)[3, \infty) aralığında artan olması için [3,∞)⊆[k−2,∞)[3, \infty) \subseteq [k-2, \infty) olmalıdır, bu da k−2≤3  ⟹  k≤5k-2 \le 3 \implies k \le 5 koşulunu getirir.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun yönünün (kollarının yönünün) belirlenmesi.
k<7k < 7
g(x)g(x) parabolünün (−∞,1](-\infty, 1] aralığında artan olması istenmektedir. Eğer parabolün kolları yukarı doğru olsaydı (k>7k > 7), artan olduğu aralık [rg,∞)[r_g, \infty) şeklinde sağdan sınırsız olurdu ve (−∞,1](-\infty, 1] aralığında artan olamazdı. Bu yüzden kollar aşağı doğru olmalıdır, yani k−7<0  ⟹  k<7k - 7 < 0 \implies k < 7 olmalıdır.
3
g(x)g(x) fonksiyonunun tepe noktasından kk için alt sınır bulunması.
k≥5k \ge 5
Kolları aşağı doğru olan g(x)=(k−7)x2+4x−3g(x) = (k-7)x^2 + 4x - 3 parabolü tepe noktası rg=−42(k−7)=27−kr_g = -\frac{4}{2(k-7)} = \frac{2}{7-k} olmak üzere (−∞,rg](-\infty, r_g] aralığında artandır. (−∞,1](-\infty, 1] aralığında artan olması için (−∞,1]⊆(−∞,rg](-\infty, 1] \subseteq (-\infty, r_g] olmalıdır, bu da rg≥1  ⟹  27−k≥1r_g \ge 1 \implies \frac{2}{7-k} \ge 1 eşitsizliğini verir. k<7k < 7 olduğundan 7−k>07-k > 0 olup, eşitsizliği 2≥7−k  ⟹  k≥52 \ge 7-k \implies k \ge 5 olarak çözebiliriz.
4
Elde edilen eşitsizliklerin kesiştirilmesi.
k=5k = 5
f(x)f(x)'in artanlık koşulundan k≤5k \le 5, g(x)g(x)'in artanlık koşulundan ise 5≤k<75 \le k < 7 elde edilmiştir. Bu iki koşulu aynı anda sağlayan tek gerçek sayı değeri k=5k = 5'tir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların (parabollerin) artan ve azalan oldukları aralıklar, tepe noktasının apsisi (r=−b/2ar = -b/2a) ve baş katsayının işareti kullanılarak belirlenir.
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru