Examkin

Soru

Zorluk: ZorSinüs Teoremi
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir. Bu üçgenin iç açılarının sinüs değerleri arasında
sin⁡(A)+sin⁡(C)=2sin⁡(B)\sin(A) + \sin(C) = 2\sin(B)
bağıntısı bulunmaktadır.
Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R=6R = 6 birim ve a+c=18a + c = 18 birim olduğuna göre, sin⁡(B)\sin(B) değeri kaçtır?

Cevap: 0.75

Cevap

0.75
Sinüs Teoremi gereğince, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri doğru orantılıdir ve orantı sabiti çevrel çemberin çapı olan 2R2R değerine eşittir. Verilen sin⁡(A)+sin⁡(C)=2sin⁡(B)\sin(A) + \sin(C) = 2\sin(B) eşitliğinde her bir terim yerine sırasıyla a2R\frac{a}{2R}, c2R\frac{c}{2R} ve b2R\frac{b}{2R} yazıldığında paydalar sadeleşir ve a+c=2ba + c = 2b bağıntısı elde edilir. Soruda a+c=18a + c = 18 birim olarak verildiği için 2b=18  ⟹  b=92b = 18 \implies b = 9 birim bulunur. Çevrel çemberin yarıçapı R=6R = 6 birim olduğu için b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) formülünden 9=12sin⁡(B)  ⟹  sin⁡(B)=0.759 = 12\sin(B) \implies \sin(B) = 0.75 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların sinüs değerlerini Sinüs Teoremi ile kenar uzunlukları ve çevrel çember yarıçapı cinsinden ifade etmek.
sin⁡(A)=a2R\sin(A) = \frac{a}{2R}, sin⁡(B)=b2R\sin(B) = \frac{b}{2R} ve sin⁡(C)=c2R\sin(C) = \frac{c}{2R}
Sorudaki sinüslü ifadeyi kenar uzunluklarına bağlamak için Sinüs Teoremi bağınt��sı kullanılır.
2
Elde edilen sinüs değerlerini verilen denklemde yerine yazıp sadeleştirerek kenarlar arasındaki bağıntıyı bulmak.
a+c=2ba + c = 2b
a2R+c2R=2⋅b2R\frac{a}{2R} + \frac{c}{2R} = 2 \cdot \frac{b}{2R} denkleminde her iki tarafı da 2R2R ile çarparak sadeleştirme yapılır.
3
Verilen a+c=18a + c = 18 bağıntısını kullanarak bb kenar uzunluğunu hesaplamak.
b=9b = 9 birim
a+c=2ba + c = 2b ve a+c=18a + c = 18 olduğundan, 2b=182b = 18 eşitliği elde edilir.
4
Sinüs Teoremi formülünde bb ve RR değerlerini yazarak sin⁡(B)\sin(B) değerini hesaplamak.
sin⁡(B)=0.75\sin(B) = 0.75
b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) formülünde b=9b = 9 ve R=6R = 6 yazıldığında 9=12sin⁡(B)9 = 12\sin(B) denklemi çözülür.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi kullanılarak üçgenin kenarları ile açılarının sinüsleri arasında doğru orantı kurulması.
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru