Examkin

Soru

Zorluk: ZorKosinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim}, ∣AC∣=6 birim|AC| = 6\text{ birim} ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir. Bu üçgende AA açısının iç açıortay doğrusu BCBC kenarını DD noktasında kesmektedir. Buna göre, ADAD açıortay doğrusunun uzunluğu (∣AD∣|AD|) kaç birimdir?

Cevap: 2 birim

Cevap

Açıortay doğrusunun uzunluğu 2 birimdir.
İç açıortay teoremi ile taban bölme oranları belirlendikten sonra, büyük üçgende 120∘120^\circ kullanılarak Kosinüs teoremiyle kenar uzunlukları tam olarak bulunur. Ardından ABDABD ve ADCADC üçgenlerinde 60∘60^\circ açıları kullanılarak Kosinüs teoremi yardımıyla ortak uzunluk olan 2 birim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini kullanarak tabandaki parçaların oranını bulunuz.
∣BD∣=k|BD| = k ve ∣DC∣=2k|DC| = 2k (∣BC∣=3k|BC| = 3k)
İç açıortay doğrusu, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler.
2
ABCABC üçgeninde AA açısına göre Kosinüs teoremi uygulayarak kk değerini hesaplayınız.
9k2=9+36−36⋅cos⁡(120∘)  ⟹  9k2=63  ⟹  k=79k^2 = 9 + 36 - 36 \cdot \cos(120^\circ) \implies 9k^2 = 63 \implies k = \sqrt{7}
BCBC kenar uzunluğunu ve buna bağlı olarak tabandaki parçaların gerçek uzunluklarını bulmak için Kosinüs teoremi gereklidir.
3
ABDABD üçgeninde Kosinüs teoremini kullanarak ∣AD∣=x|AD| = x için bir denklem elde ediniz.
x2−3x+2=0  ⟹  x=1x^2 - 3x + 2 = 0 \implies x = 1 veya x=2x = 2
ADAD açıortayı açıyı 60∘−60∘60^\circ - 60^\circ olarak ikiye böler, bu durum ABDABD üçgeninde Kosinüs teoremi yazmayı sağlar.
4
ADCADC üçgeninde Kosinüs teoremini kullanarak elde edilen xx değerlerini doğrulayınız.
x2−6x+8=0  ⟹  x=2x^2 - 6x + 8 = 0 \implies x = 2 veya x=4x = 4. Ortak kök x=2x = 2 olarak bulunur.
Farklı iki üçgende de geçerli olan tek bir fiziksel uzunluk değeri bulunmalıdır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi ve İç Açıortay Teoremi İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru