Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları

Bir göldeki su derinliğine bağlı olarak ışık şiddetinin değişimi araştırılmaktadır. Göle ulaşan güneş ışığının su yüzeyindeki şiddeti I0I_0 lümen olmak üzere, su yüzeyinden itibaren dd metre derinlikteki ışık şiddeti I(d)I(d) lümen değeri

I(d)=I0⋅e−0,2dI(d) = I_0 \cdot e^{-0,2d}

formülüyle modellenmektedir.

Buna göre, göldeki ışık şiddetinin yüzeydeki değerinin yarısına düştüğü derinlik, metre cinsinden aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. 5ln⁡25 \ln 2Cevap
  2. B
    2ln⁡52 \ln 5
  3. C
    ln⁡25\frac{\ln 2}{5}
  4. D
    5ln⁡(0,5)5 \ln(0,5)
  5. E
    −5ln⁡2-5 \ln 2

Cevap

Beş çarpı elen iki
Işık şiddetinin yüzeydeki değerinin yarısına düştüğü derinliği bulmak için I(d)=0,5I0I(d) = 0,5 I_0 eşitliği kurulur. Burada I0I_0 sadeleştirilerek e−0,2d=0,5e^{-0,2d} = 0,5 denklemine ulaşılır. Her iki tarafın doğal logaritması alındığında −0,2d=ln⁡(0,5)-0,2d = \ln(0,5) olur. ln⁡(0,5)=−ln⁡2\ln(0,5) = -\ln 2 eşitliği kullanılarak −0,2d=−ln⁡2-0,2d = -\ln 2 yani 0,2d=ln⁡20,2d = \ln 2 elde edilir. Son olarak 0,2=150,2 = \frac{1}{5} katsayısı karşıya çarpım olarak aktarıldığında derinlik 5ln⁡25 \ln 2 metre olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Işık şiddeti modelini, yüzeydeki şiddetin yarısına eşit olacak şekilde denklem halinde yazın.
I0⋅e−0,2d=0,5⋅I0I_0 \cdot e^{-0,2d} = 0,5 \cdot I_0
Işık şiddetinin yüzeydeki değerinin (I0I_0) yarısına düştü��ü derinliği bulmak için I(d)=0,5I0I(d) = 0,5 I_0 eşitliği kurulur.
2
Her iki taraftaki I0I_0 terimlerini sadeleştirip üstel denklemi yalnız bırakın ve her iki tarafın doğal logaritmasını (ln⁡\ln) alın.
e−0,2d=0,5  ⟹  −0,2d=ln⁡(0,5)e^{-0,2d} = 0,5 \implies -0,2d = \ln(0,5)
Üstel ifadenin tabanı ee olduğundan, dd değişkenini çekebilmek için doğal logaritma fonksiyonu kullanılır.
3
Logaritma özelliklerini kullanarak negatif terimleri sadeleştirin ve dd derinlik değerini bulun.
−0,2d=−ln⁡2  ⟹  0,2d=ln⁡2  ⟹  d=5ln⁡2-0,2d = -\ln 2 \implies 0,2d = \ln 2 \implies d = 5 \ln 2
ln⁡(0,5)=ln⁡(2−1)=−ln⁡2\ln(0,5) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2 özelliği yardımıyla denklem sadeleştirilir. 0,2=150,2 = \frac{1}{5} olduğundan, içler dışlar çarpımıyla d=5ln⁡2d = 5 \ln 2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Üstel azalış modellerinde üstel denklemi logaritmaya çevirerek bilinmeyen değişkeni yalnız bırakma
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları