Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKütle Çekim Kuvveti ve Yerçekimi İvmesi

Küre şeklinde ve homojen özkütleye sahip Karya gezegeninin yarıçapı 2R2R'dir. Gezegenin merkezinden RR kadar uzaklıktaki KK noktasında yerçekimi ivmesinin büyüklüğü gKg_K, gezegenin yüzeyinden RR kadar dışarıda bulunan LL noktasında ise gLg_L'dir.

Buna göre, Karya gezegeninin bu noktalarda ölçülen yerçekimi ivmelerinin büyüklüklerinin oranı gKgL\frac{g_K}{g_L} kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    34\frac{3}{4}
  3. 98\frac{9}{8}Cevap
  4. D
    94\frac{9}{4}
  5. E
    99

Cevap

Yerçekimi ivmelerinin büyüklüklerinin oranı 9/8'dir.
Doğru seçenek olan 9/8 oranı, gezegenin içindeki KK noktasında ivmenin merkezden uzaklıkla doğru orantılı olarak gK=12gyu¨zeyg_K = \frac{1}{2} g_{\text{yüzey}} şeklinde bulunması, dışındaki LL noktasında ise uzaklığın karesiyle ters orantılı olarak gL=49gyu¨zeyg_L = \frac{4}{9} g_{\text{yüzey}} şeklinde hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Gezegenin içindeki KK noktasındaki yerçekimi ivmesini belirlemek.
gK=12gyu¨zeyg_K = \frac{1}{2} g_{\text{yüzey}}
Homojen özkütleli küresel gezegenlerin içinde yerçekimi ivmesi merkezden olan uzaklıkla doğru orantılıdır (g∝rg \propto r). Gezegenin yarıçapı 2R2R olduğundan, merkezden RR uzaklıktaki KK noktasında yerçekimi ivmesi, yüzeydeki yerçekimi ivmesinin (gyu¨zeyg_{\text{yüzey}}) yarısı kadardır.
2
Gezegenin dışındaki LL noktasındaki yerçekimi ivmesini belirlemek.
gL=49gyu¨zeyg_L = \frac{4}{9} g_{\text{yüzey}}
Gezegenin dışında yerçekimi ivmesi, gezegen merkezine olan uzaklığın karesiyle ters orantılıdır (g∝1r2g \propto \frac{1}{r^2}). LL noktası yüzeyden RR kadar dışarıda olduğundan, merkezden uzaklığı rL=2R+R=3Rr_L = 2R + R = 3R olur. Yüzeydeki ivme gyu¨zey∝1(2R)2=14R2g_{\text{yüzey}} \propto \frac{1}{(2R)^2} = \frac{1}{4R^2} iken, LL noktasındaki ivme gL∝1(3R)2=19R2g_L \propto \frac{1}{(3R)^2} = \frac{1}{9R^2} olur. Buradan gL=49gyu¨zeyg_L = \frac{4}{9} g_{\text{yüzey}} bulunur.
3
Noktalardaki yerçekimi ivmelerinin oranını hesaplamak.
gKgL=98\frac{g_K}{g_L} = \frac{9}{8}
gK=12gyu¨zeyg_K = \frac{1}{2} g_{\text{yüzey}} ve gL=49gyu¨zeyg_L = \frac{4}{9} g_{\text{yüzey}} değerleri birbirine oranlandığında gKgL=1/24/9=98\frac{g_K}{g_L} = \frac{1/2}{4/9} = \frac{9}{8} elde edilir.

Anahtar Kavram

Gezegenlerin yerçekimi ivmesi, gezegenin içinde merkezden olan uzaklıkla doğru orantılı olarak artarken, gezegenin dışında merkezden olan uzaklığın karesiyle ters orantılı olarak azalır.
Bu soruyu puanla

Konular

Kütle Çekim Kuvveti ve Yerçekimi İvmesi

Bu konudan daha fazla soru