Bir yazılımcı, geliştirdiği bir güvenlik sistemi için 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3 rakamlarının tam… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir yazılımcı, geliştirdiği bir güvenlik sistemi için $1, 1, 1, 2, 2, 3, 3$ rakamlarının tamamını kullanarak 7 haneli bir şifre oluşturacaktır. Sistem güvenliği açısından şifrede bulunan aynı rakamların hiçbirinin yan yana gelmemesi gerekmektedir. Buna göre, bu yazılımcı belirtilen koşula uygun kaç farklı şifre oluşturabilir?

Cevap: 38

Cevap

Koşullara uygun oluşturulabilecek farklı şifre sayısı 38'dir.

Şifredeki hiçbir aynı rakamın yan yana gelmemesi koşulu için önce

1

rakamları dışındaki

2, 2, 3, 3

rakamları sıralanıp, oluşan boşluklara

1

rakamları yerleştirilerek

1

'lerin yan yana gelmediği tüm durumlar (60 durum) bulunur. Daha sonra bu durumlar arasından yan yana gelen

2

'ler ve

3

'ler içerme-dışarma prensibiyle elenerek doğru sonuç olan 38'e ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

dışındaki

2, 2, 3, 3

rakamlarının tekrarlı permütasyon sayısını hesaplama

6 farklı sıralama elde edilir.

Önce

1

dışındaki elemanları yerleştirerek boşluklar elde etmek.

1

rakamlarının yan yana gelmeyeceği şekilde boşluklara yerleştirilme sayısını hesaplama

Toplam

6 \times \binom{5}{3} = 60

durum elde edilir.

Hiçbir

1

rakamının yan yana gelmediği şifre sayısını belirlemek.

Aynı olan diğer rakamların (

2

veya

3

) yan yana geldiği istenmeyen durumları hesaplama

İki

2

'nin yan yana geldiği durum sayısı

12

, iki

3

'ün yan yana geldiği durum sayısı da

12

'dir.

İçerme-dışarma prensibini uygulamak üzere tekli istenmeyen durum kümelerini bulmak.

Hem iki

2

'nin hem de iki

3

'ün aynı anda yan yana geldiği durum sayısını hesaplama

2 durum elde edilir.

İçerme-dışarma prensibindeki kesişim kümesini bulmak.

İstenmeyen durumların toplam sayısını bulup tüm durumlardan çıkarma

60 - (12 + 12 - 2) = 38

olarak bulunur.

Koşulları tam olarak sağlayan şifre sayısına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde boşluk (gap) yöntemi ve içerme-dışarma prensibinin entegrasyonu.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru