Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBasit Olayların Olasılığı

Bir torbada 11'den 66'ya kadar numaralandırılmış 66 kırmızı ve 11'den 66'ya kadar numaralandırılmış 66 mavi top bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele iki top çekiliyor.

Çekilen topların renklerinin farklı veya üzerindeki sayıların toplamının 77 olma olasılığı en sade biçimde ab\frac{a}{b} kesri olarak yazıldığında a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevap: 18

Cevap

Renklerin farklı veya üzerindeki sayıların toplamının 77 olma olasılığı en sade biçimde 711\frac{7}{11} olup, pay ile paydanın toplamı 1818'dir.
Toplam 1212 top arasından rastgele 22 top (122)=66\binom{12}{2} = 66 farklı şekilde çekilebilir. Çekilen topların farklı renkte olduğu 3636 durum, üzerindeki sayıların toplamının 77 olduğu 1212 durum vardır. Hem farklı renkte hem de toplamları 77 olan 66 ortak durum bulunduğundan, istenen koşulu sağlayan toplam durum sayısı 36+12−6=4236 + 12 - 6 = 42 olur. Olasılık değeri ise 4266=711\frac{42}{66} = \frac{7}{11} olarak elde edilir. En sade biçimdeki bu kesir için pay (77) ile paydanın (1111) toplamı 1818 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Torbada bulunan toplam top sayısını ve bu toplardan aynı anda çekilebilecek tüm iki top kombinasyonlarının sayısını hesaplama.
Toplam top sayısı 6+6=126 + 6 = 12'dir. Bu 12 toptan 2 tanesi (122)=12×112=66\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66 farklı şekilde çekilebilir.
İstenen olayın olasılığını hesaplamak için örnek uzayın (tüm olası durumların) eleman sayısını belirlemek gerekir.
2
Çekilen topların farklı renkte olma durumunun (A olayı) eleman sayısını bulma.
66 kırmızı toptan 11 tane ve 66 mavi toptan 11 tane seçilmelidir. Bu durumun eleman sayısı s(A)=(61)×(61)=6×6=36s(A) = \binom{6}{1} \times \binom{6}{1} = 6 \times 6 = 36 olarak bulunur.
Farklı renklerdeki iki topun çekilme sayısın�� belirlemek için çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.
3
Çekilen topların üzerindeki sayıların toplamının 77 olma durumunun (B olayı) eleman sayısını bulma.
Toplamları 77 olan sayı çiftleri {1,6}\{1, 6\}, {2,5}\{2, 5\} ve {3,4}\{3, 4\}'tür. Her bir çift için seçilebilecek top kombinasyonları şunlardır: İkisi de kırmızı (1 durum), ikisi de mavi (1 durum) ya da biri kırmızı diğeri mavi (2 durum). Dolayısıyla her çift için 44 durum vardır ve toplam durum sayısı s(B)=3×4=12s(B) = 3 \times 4 = 12 olur.
Üzerindeki sayıların toplamı 77 olan tüm top çifti kombinasyonlarını eksiksiz belirlemek gerekir.
4
Hem renkleri farklı hem de sayıların toplamı 77 olan ortak durumların (A∩BA \cap B olayı) eleman sayısını bulma.
Toplamları 77 olan 3 sayı çiftinin her biri için renklerin farklı olduğu 22 durum vardır (örneğin 1R,6B1_R, 6_B ve 1B,6R1_B, 6_R). Dolayısıyla ortak durumların sayısı s(A∩B)=3×2=6s(A \cap B) = 3 \times 2 = 6 olur.
Kesişim kümesinin eleman sayısını belirleyerek, hem renklerin farklı hem de toplamın 77 olduğu durumların iki kez sayılmasını önlemek gerekir.
5
Birleşim kümesinin eleman sayısını hesaplama ve olasılık değerini en sade rasyonel biçimde ifade etme.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=36+12−6=42s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 36 + 12 - 6 = 42 bulunur. Olasılık değeri ise P(A∪B)=4266=711P(A \cup B) = \frac{42}{66} = \frac{7}{11} olur.
Renklerin farklı veya toplamın 77 olması olayının olasılığını bulmak için birleşim formülü uygulanır.
6
En sade haldeki pay ve paydanın toplamını bulma.
En sade haldeki kesir 711\frac{7}{11} olduğundan a=7a = 7 ve b=11b = 11 olur. Buradan a+b=7+11=18a + b = 7 + 11 = 18 elde edilir.
Soruda istenen a+ba + b değerine ulaşmak için pay ve paydayı toplamak gerekir.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Kümelerde Birleşim Kuralı
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Olayların Olasılığı

Bu konudan daha fazla soru