Examkin

Soru

Zorluk: ZorSinüs Teoremi
Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir. [AD][AD] doğru parçası çizilerek oluşturulan açılar ve kenar uzunlukları için
m(BAD^)=45∘m(\widehat{BAD}) = 45^\circ
m(DAC^)=30∘m(\widehat{DAC}) = 30^\circ
∣AB∣=42 birim|AB| = 4\sqrt{2}\text{ birim}
∣AC∣=6 birim|AC| = 6\text{ birim}
bilgileri veriliyor.

Buna göre, ∣BD∣∣CD∣\frac{|BD|}{|CD|} oranı kaçtır?

  1. A
    23\frac{2}{3}
  2. B
    34\frac{3}{4}
  3. C
    223\frac{2\sqrt{2}}{3}
  4. 43\frac{4}{3}Cevap
  5. E
    439\frac{4\sqrt{3}}{9}

Cevap

Oran 4/3 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 4/3 değeri, ABD ve ACD üçgenlerinde ortak olan AD kenarı kullanılarak yazılan sinüslü alan formüllerinin oranlanmasıyla elde edilir. Yükseklikleri aynı olan bu üçgenlerin alanları oranı, tabanları olan BD ve CD uzunluklarının oranına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
ABD ve ACD üçgenlerinde ortak olan AD kenarını kullanarak sinüslü alan formüllerini yazalım.
Alan(ABD) = (1/2) * |AB| * |AD| * sin(45°) ve Alan(ACD) = (1/2) * |AC| * |AD| * sin(30°)
Yükseklikleri ortak olan üçgenlerin alanları oranı, taban uzunlukları oranına eşit olduğundan alan bağıntılarını kurmamız gerekir.
2
Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranının tabanları oranına eşitliğini kullanarak oranlamayı yapalım.
|BD| / |CD| = Alan(ABD) / Alan(ACD) = (|AB| * sin(45°)) / (|AC| * sin(30°))
Ortak terimler olan (1/2) ve |AD| sadeleşir, geriye kenar uzunlukları ve sinüs değerleri kalır.
3
Verilen sayısal değerleri ve trigonometrik oranları formülde yerine yazalım.
|BD| / |CD| = (4\sqrt{2} * (\sqrt{2}/2)) / (6 * (1/2)) = 4 / 3
İşlemleri sadeleştirerek nihai oranı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki üçgenin ortak bir kenarı paylaştığı durumlarda Sinüs Teoremi veya Sinüslü Alan Formülü yardımıyla taban oranlarının bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru