Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 parabolüne dışındaki P(0,−1)P(0, -1) noktasından çizilen teğet doğrularının parabole değme noktaları AA ve BB olarak adlandırılıyor.

Buna göre; köşeleri PP, AA ve BB noktaları olan PABPAB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevap: 16 birimkare

Cevap

Köşeleri P(0,−1)P(0, -1), A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) olan PABPAB üçgeninin alanı 16 birimkaredir.
Parabolün dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin değme noktaları, teğet doğrusu denkleminin P(0,−1)P(0, -1) noktasını sağlaması koşuluyla belirlenir. Bu koşuldan elde edilen A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) noktaları ile P(0,−1)P(0, -1) noktasının oluşturduğu üçgenin alanı koordinat geometrisi kurallarıyla hesaplandığında 1616 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün türevini alarak teğet noktasındaki eğim ifadesini belirlemek.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olduğundan, T(x0,y0)T(x_0, y_0) noktasındaki teğet eğimi m=2x0−2m = 2x_0 - 2 olarak bulunur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazmak ve dışarıdaki P(0,−1)P(0, -1) noktasını bu denklemde yerine koyarak değme noktalarının apsislerini bulmak.
x02=4x_0^2 = 4 denklemi elde edilir ve buradan x0=2x_0 = 2 veya x0=−2x_0 = -2 bulunur.
Teğet doğrusu P(0,−1)P(0, -1) noktasından geçti��i için bu noktanın koordinatları teğet denklemini sağlamalıdır.
3
Bulunan apsis değerlerini parabol denkleminde yerine yazarak değme noktaları olan AA ve BB noktalarının koordinatlarını belirlemek.
A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) noktaları elde edilir.
Değme noktaları parabolün üzerinde yer aldığı için parabol denklemini sağlar.
4
Köşeleri P(0,−1)P(0, -1), A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) olan üçgenin alanını hesaplamak.
Alan 1616 birimkare olarak bulunur.
Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanı determinant yöntemi veya taban ve yükseklik hesaplanarak bulunabilir.

Anahtar Kavram

Türevin Geometrik Yorumu (Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetler)
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru