Examkin

Soru

Zorluk: ZorTekrarlı Permütasyon

Bir robot, analitik düzlemin (0,0)(0,0) noktasından (5,5)(5,5) noktasına hareket edecektir. Bu robot her bir adımında;
- 11 birim sağa,
- 11 birim yukarı ya da
- 11 birim sağa ve 11 birim yukarı (çapraz)
gidebilmektedir.

Bu robotun hareketi boyunca tam olarak 22 kez çapraz adım attığı ve (2,3)(2,3) noktasından geçtiği bilinmektedir.

Buna göre, robot bu koşullara uygun olarak (0,0)(0,0) noktasından (5,5)(5,5) noktasına kaç farklı yoldan gidebilir?

  1. A
    100
  2. B
    144
  3. C
    174
  4. 204Cevap
  5. E
    560

Cevap

Robotun (2,3)(2,3) noktasından geçerek ve tam olarak 22 çapraz adım atarak (0,0)(0,0) noktasından (5,5)(5,5) noktasına gidebileceği toplam yol sayısı 204204'tür.
Doğru cevap olan 204204 değeri, geçiş noktasından önce kullanılan çapraz adım sayısına (0,10, 1 veya 22) göre tüm durumların tekrarlı permütasyon formülüyle ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Koordinat değişimleri ile adım sayıları arasındaki ilişkileri belirlemek.
Robotun (0,0)(0,0) noktasından (5,5)(5,5) noktasına giderken attığı sağa adım sayısı xx, yukarı adım sayısı yy ve çapraz adım sayısı zz olsun. Bu durumda x+z=5x + z = 5 ve y+z=5y + z = 5 olmalıdır. Toplam çapraz adım sayısı z=2z = 2 olarak verildiğinden, x=3x = 3 sağa adım ve y=3y = 3 yukarı adım atılmalıdır.
Hareketlerin koordinatlar üzerindeki etkilerini matematiksel denklemlerle ifade etmek için.
2
Robotun (0,0)(0,0) ile (2,3)(2,3) arasındaki hareketini analiz ederek durumları belirlemek.
(0,0)(0,0) noktasından (2,3)(2,3) noktasına giderken atılan sağa adım sayısı x1x_1, yukarı adım sayısı y1y_1 ve çapraz adım sayısı z1z_1 olsun. Buradan x1+z1=2x_1 + z_1 = 2 ve y1+z1=3y_1 + z_1 = 3 elde edilir. Adım sayıları negatif olamayacağından z1z_1 değeri 0,10, 1 veya 22 olabilir.
Geçiş noktasına ulaşana kadar atılabilecek çapraz adım senaryolarını gruplandırmak için.
3
Belirlenen z1z_1 durumlarına göre tekrarlı permütasyon hesaplamalarını yapmak.
Durum 1 (z1=0z_1 = 0): (0,0)→(2,3)(0,0) \rightarrow (2,3) için x1=2,y1=3x_1=2, y_1=3 (toplam 5 adım) ⇒5!2!3!=10\Rightarrow \frac{5!}{2!3!} = 10 yol. Bu durumda kalan yol (2,3)→(5,5)(2,3) \rightarrow (5,5) için z2=2z_2 = 2 çapraz adım olmalıdır. Buradan x2=1,y2=0x_2 = 1, y_2 = 0 (toplam 3 adım) ⇒3!1!2!=3\Rightarrow \frac{3!}{1!2!} = 3 yol. Bu durumdaki toplam yol sayısı: 10×3=3010 \times 3 = 30. Durum 2 (z1=1z_1 = 1): (0,0)→(2,3)(0,0) \rightarrow (2,3) için x1=1,y1=2,z1=1x_1=1, y_1=2, z_1=1 (toplam 4 adım) ⇒4!1!2!1!=12\Rightarrow \frac{4!}{1!2!1!} = 12 yol. Kalan yol (2,3)→(5,5)(2,3) \rightarrow (5,5) için z2=1z_2 = 1 çapraz adım olmalıdır. Buradan x2=2,y2=1,z2=1x_2 = 2, y_2 = 1, z_2=1 (toplam 4 adım) ⇒4!2!1!1!=12\Rightarrow \frac{4!}{2!1!1!} = 12 yol. Bu durumdaki toplam yol sayısı: 12×12=14412 \times 12 = 144. Durum 3 (z1=2z_1 = 2): (0,0)→(2,3)(0,0) \rightarrow (2,3) için x1=0,y1=1,z1=2x_1=0, y_1=1, z_1=2 (toplam 3 adım) ⇒3!1!2!=3\Rightarrow \frac{3!}{1!2!} = 3 yol. Kalan yol (2,3)→(5,5)(2,3) \rightarrow (5,5) için z2=0z_2 = 0 çapraz adım olmalıdır. Buradan x2=3,y2=2,z2=0x_2 = 3, y_2 = 2, z_2=0 (toplam 5 adım) ⇒5!3!2!=10\Rightarrow \frac{5!}{3!2!} = 10 yol. Bu durumdaki toplam yol sayısı: 3×10=303 \times 10 = 30.
Her bir çapraz adım dağılımı senaryosu için tekrarlı permütasyon kuralını uygulamak ve yolları çarparak birleştirmek için.
4
Tüm durumların sonuçlarını toplayarak toplam yol sayısını bulmak.
Toplam yol sayısı: 30+144+30=20430 + 144 + 30 = 204 olarak bulunur.
Ayrık durumların yol sayılarını toplama yoluyla sayma kuralına göre birleştirmek için.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon kullanarak kısıtlı ızgara (grid) yollarını hesaplama ve adım durumlarını ayrık durumlara bölerek inceleme.
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru