Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3
g(x)=x2−8x+23g(x) = x^2 - 8x + 23

fonksiyonları veriliyor. f(x)f(x) parabolü üzerindeki bir A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasından çizilen teğet doğrusu, g(x)g(x) parabolünün tepe noktasından geçmektedir.

a<4a < 4 olduğuna göre, bu teğet doğrusunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

  1. A
    -33
  2. B
    -7
  3. C
    -3
  4. -1Cevap
  5. E
    3

Cevap

Teğet doğrusunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı -1 değeridir.
Doğru cevap -1 değeridir. f(x) fonksiyonuna x = 2 noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y = 2x - 1 olup, y-eksenini -1 ordinatlı noktada keser.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) parabolünün tepe noktasını bulalım.
g(x) = x^2 - 8x + 23 parabolünde tepe noktasının apsisi r = -b/(2a) = -(-8)/(2*1) = 4 olur. Bu değeri fonksiyonda yerine yazarsak ordinat k = g(4) = 4^2 - 8(4) + 23 = 16 - 32 + 23 = 7 bulunur. Dolayısıyla tepe noktası T(4, 7) noktasıdır.
Teğet doğrusunun geçeceği noktayı belirlemek için.
2
f(x) eğrisine x = a noktasından ��izilen teğet doğrusunun denklemini kuralım.
Teğet noktası (a, a^2 - 2a + 3) ve teğetin eğimi m = f'(a) = 2a - 2 olur. Teğet doğrusunun denklemi: y - (a^2 - 2a + 3) = (2a - 2)(x - a) şeklinde yazılır.
Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemini türev yardımıyla oluşturmak için.
3
Teğet doğrusu T(4, 7) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerine yazarak a değerini bulalım.
7 - (a^2 - 2a + 3) = (2a - 2)(4 - a) ifadesinden 4 - a^2 + 2a = -2a^2 + 10a - 8 elde edilir. Denklemi düzenlediğimizde a^2 - 8a + 12 = 0 olur. Bu denklem çarpanlarına ayrılırsa (a - 2)(a - 6) = 0 elde edilir. Buradan a = 2 veya a = 6 bulunur.
Teğet doğrusunun geçtiği bilinen noktayı kullanarak teğet noktalarının apsislerini belirlemek için.
4
a < 4 koşuluna uyan a değerini seçip teğet doğrusunun denklemini yazalım.
Sorudaki a < 4 koşulundan dolayı a = 2 değeri seçilir. a = 2 için teğet noktası (2, 3) ve eğim m = 2(2) - 2 = 2 olur. Teğet doğrusunun denklemi y - 3 = 2(x - 2) veya düzenlenmiş haliyle y = 2x - 1 olarak bulunur.
Koşulu sağlayan doğru denklemini tam olarak belirlemek için.
5
Teğet doğrusunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatını bulalım.
y = 2x - 1 denkleminde x = 0 yazılırsa y = -1 bulunur.
Doğrunun y-eksenini kestiği noktaya ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru