Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 fonksiyonunun grafiği aa birim sağa ve bb birim aşağı ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir. f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının grafiklerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2’dir. Orijinden geçen bir dd doğrusunun hem T1T_1 hem de T2T_2 noktasından geçtiği ve bu iki grafiğin yy ekseni üzerinde kesiştiği bilinmektedir. Buna göre, köşe noktaları T1T_1, T2T_2 ve bu iki grafiğin kesişim noktası olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    6
  2. B
    5
  3. 3Cevap
  4. D
    15
  5. E
    2

Cevap

Köşe noktaları T1(1,−4)T_1(1, -4), T2(3,−12)T_2(3, -12) ve kesişim noktası P(0,−3)P(0, -3) olan üçgenin alanı 3 birimkaredir.
Tepe noktaları T1(1,−4)T_1(1, -4) ve T2(3,−12)T_2(3, -12) ile kesişim noktası P(0,−3)P(0, -3) olarak doğru şekilde belirlenip üçgenin alan formülü uygulandığında alan 3 birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 fonksiyonunun tepe noktası T1(r1,s1)T_1(r_1, s_1) koordinatlarını bulalım.
r1=−−22=1r_1 = -\frac{-2}{2} = 1 ve s1=f(1)=12−2(1)−3=−4s_1 = f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = -4 olduğundan T1(1,−4)T_1(1, -4) olur.
Ötelenen fonksiyonun tepe noktasını takip edebilmek için öncelikle orijinal fonksiyonun tepe noktasını bulmamız gerekir.
2
Orijinden ve T1(1,−4)T_1(1, -4) noktasından geçen dd doğrusunun denklemini yazalım ve T2T_2 tepe noktasının koordinatları arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
dd doğrusunun eğimi m=−4−01−0=−4m = \frac{-4-0}{1-0} = -4 olup denklemi y=−4xy = -4x şeklindedir. f(x)f(x) fonksiyonu aa birim sağa ve bb birim aşağı ötelendiğinde T2(1+a,−4−b)T_2(1+a, -4-b) noktası elde edilir. Bu nokta y=−4xy = -4x doğrusu üzerinde olduğundan −4−b=−4(1+a)  ⟹  b=4a-4-b = -4(1+a) \implies b = 4a elde edilir.
Öteleme miktarları aa ve bb arasındaki ilk ilişkiyi bulmak için tepe noktalarının doğrusal olma özelliğini kullanırız.
3
Grafiklerin yy ekseni üzerinde kesiştiği bilgisini kullanarak aa ve bb arasındaki ikinci ilişkiyi bulalım ve a,ba, b değerlerini çözelim.
Kesişim noktası yy ekseni üzerinde olduğundan x=0x=0 için f(0)=g(0)f(0) = g(0) olmalıdır. f(0)=−3f(0) = -3 ve g(0)=f(−a)−b=a2+2a−3−bg(0) = f(-a) - b = a^2 + 2a - 3 - b yazılır. Buradan a2+2a−3−b=−3  ⟹  b=a2+2aa^2 + 2a - 3 - b = -3 \implies b = a^2 + 2a bulunur. b=4ab = 4a eşitliğini yerine yazarsak a2+2a=4a  ⟹  a2−2a=0a^2 + 2a = 4a \implies a^2 - 2a = 0 olur. a>0a > 0 olduğundan a=2a = 2 ve b=8b = 8 bulunur.
İki eğrinin kesişim noktası yardımıyla aa ve bb değerlerini tek türlü belirlemek için bu denklemi kurarız.
4
Köşe noktaları T1(1,−4)T_1(1, -4), T2(3,−12)T_2(3, -12) ve kesişim noktası P(0,−3)P(0, -3) olan üçgenin alanını hesaplayalım.
Köşe koordinatları bilinen üçgenin alan formülünden: Alan=12∣0(−4−(−12))+1(−12−(−3))+3(−3−(−4))∣=12∣−9+3∣=3\text{Alan} = \frac{1}{2} |0(-4 - (-12)) + 1(-12 - (-3)) + 3(-3 - (-4))| = \frac{1}{2} |-9 + 3| = 3 birimkare bulunur.
İstenen üçgenin alanını bulmak için köşe noktalarının koordinatlarını alan formülünde yerine koyarız.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyon grafiğinin yatay ve dikey ötelenmesiyle tepe noktasının ve fonksiyon denkleminin değişim kuralları.
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

Bu konudan daha fazla soru