Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅cos⁡xb=sin⁡xtan⁡xc=cos⁡xcot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \cos x \\ b &= \frac{\sin x}{\tan x} \\ c &= \frac{\cos x}{\cot x} \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. c<a<bc < a < bCevap
  2. B
    a<c<ba < c < b
  3. C
    c<b<ac < b < a
  4. D
    b<a<cb < a < c
  5. E
    b<c<ab < c < a

Cevap

c<a<bc < a < b sıralaması doğrudur.
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde b=cos⁡xb = \cos x ve c=sin⁡xc = \sin x elde edilir. Dördüncü bölgede cos⁡x\cos x pozitif, sin⁡x\sin x ise negatif değer alır. Bu nedenle b>0b > 0 olup en büyük değerdir. Negatif olan a=sin⁡xcos⁡xa = \sin x \cos x ve c=sin⁡xc = \sin x değerlerini karşılaştırmak için, 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 eşitsizliğinin her iki tarafı negatif bir sayı olan sin⁡x\sin x ile çarpılır. Bu işlem eşitsizliği yön değiştirerek sin⁡xcos⁡x>sin⁡x\sin x \cos x > \sin x yani a>ca > c haline getirir. Sonuç olarak doğru sıralama en küçükten büyüğe c<a<bc < a < b olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik ifadeleri temel kimlikleri kullanarak sadeleştirin.
b=sin⁡xtan⁡x=sin⁡xsin⁡xcos⁡x=cos⁡xb = \frac{\sin x}{\tan x} = \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \cos x ve c=cos⁡xcot⁡x=cos⁡xcos⁡xsin⁡x=sin⁡xc = \frac{\cos x}{\cot x} = \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \sin x olarak bulunur. a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x ifadesi ise aynı kalır.
İfadeleri birbiriyle kıyaslayabilmek adına en sade biçimlerine dönüştürmek gerekir.
2
Değişkenin tanımlı olduğu bölgeye göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını analiz edin.
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) aralığı koordinat düzleminde 4. bölgeye aittir. Bu bölgede: sin⁡x<0\sin x < 0 (negatif) ve 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 (pozitif) olur.
İfadelerin işaret ve büyüklüklerini belirlemek için bölge analizi şarttır.
3
Bulunan işaret ve değer aralıklarını kullanarak değerleri sıralayın.
b=cos⁡x>0b = \cos x > 0 olduğundan en büyük değer bb olur. sin⁡x\sin x ile cos⁡x\cos x zıt işaretli olduğundan çarpımları a=sin⁡x⋅cos⁡x<0a = \sin x \cdot \cos x < 0 olur. Negatif olan aa ve cc değerlerini kıyaslamak için 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 eşitsizliğinin her iki tarafı negatif olan sin⁡x\sin x ile çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir: sin⁡x⋅cos⁡x>sin⁡x⇒a>c\sin x \cdot \cos x > \sin x \Rightarrow a > c olur. Buradan c<a<bc < a < b sıralamasına ulaşılır.
Kosinüsün pozitif basit kesir olması ve sinüsün negatif olması özelliklerinden yararlanarak sıralamayı tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme ve birim çember üzerindeki bölgelere göre trigonometrik değerlerin sıralanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru