Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTekrarlı Permütasyon

Bir teknoloji şirketi, ofis girişindeki tabela için yan yana dizilmiş 77 adet ampul yuvasından oluşan bir aydınlatma sistemi tasarlamıştır. Bu sistemde kullanılmak üzere renkleri dışında özdeş olan;
* 33 adet kırmızı,
* 22 adet mavi,
* 22 adet sarı
ampul bulunmaktadır.
Bu ampullerin tamamı tabeladaki yuvalara yerleştirilecektir.
Sistemin estetik görünmesi için tabelanın en başında ve en sonunda yer alan ampullerin farklı renklerde olması istenmektedir.
Buna göre, bu ampuller tabeladaki yuvalara kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevap: 160

Cevap

Ampuller tabeladaki yuvalara 160 farklı şekilde dizilebilir.
Tüm olası sıralamaların sayısı tekrarlı permütasyon formülüyle 210 olarak bulunur. En başta ve en sonda aynı renk ampul bulunan durumlar (iki ucu da kırmızı, iki ucu da mavi veya iki ucu da sarı olanlar) hesaplanıp toplandığında 50 elde edilir. Tüm durumlardan bu istenmeyen durumlar çıkarıldığında uçlarında farklı renk ampuller bulunan sıralama sayısı 160 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm ampullerin herhangi bir koşul olmadan yan yana kaç farklı şekilde sıralanabileceğini (tüm durumları) hesaplayın.
210210 farklı durum vardır.
3 adet k��rmızı, 2 adet mavi ve 2 adet sarı olmak üzere toplam 7 özdeş ampulün sıralanışı tekrarlı permütasyon formülü 7!3!⋅2!⋅2!=210\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = 210 ile hesaplanır.
2
Tabelanın en başında ve en sonunda aynı renk ampul bulunan (istenmeyen) durumları hesaplayın.
Toplam 5050 istenmeyen durum vardır.
Uçlardaki ampuller aynı renk olacak şekilde üç durum incelenir:
1) Uçlarda kırmızı ampul olması: Kalan 5 yuvaya 1 kırmızı, 2 mavi, 2 sarı dizilir. 5!1!⋅2!⋅2!=30\frac{5!}{1! \cdot 2! \cdot 2!} = 30 durum.
2) Uçlarda mavi ampul olması: Kalan 5 yuvaya 3 kırmızı, 2 sarı dizilir. 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 durum.
3) Uçlarda sarı ampul olması: Kalan 5 yuvaya 3 kırmızı, 2 mavi dizilir. 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 durum.
Toplam istenmeyen durum sayısı: 30+10+10=5030 + 10 + 10 = 50 olur.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak en başta ve en sonda farklı renkte ampullerin olduğu durum sayısını bulun.
160160 farklı durum vardır.
Tüm durumlardan (210) uçlarda aynı renk olan durumları (50) çıkardığımızda, uçlarda farklı renk olan durumların sayısı 210−50=160210 - 50 = 160 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde koşullu sıralamalar hesaplanırken tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılması (tümleme yöntemi) kolaylık sağlar.

Alternatif Yöntem

Uçlarda farklı renk olma durumlarını doğrudan hesaplayabiliriz. Uçlardaki renk ikilileri (Kırmızı, Mavi), (Kırmızı, Sarı), (Mavi, Sarı) ve bunların yer değiştirmiş halleri olabilir. Bu ikililer için kalan 5 elemanın tekrarlı permütasyonları hesaplanıp toplanarak da 160 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru