Examkin

Soru

Zorluk: ZorLimit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={5−x2,x<14,x=12x+1,x>1f(x) = \begin{cases} 5 - x^2, & x < 1 \\ 4, & x = 1 \\ 2x + 1, & x > 1 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
lim⁡x→2−f(f(x−1))+lim⁡x→2−f(f(3−x))\lim_{x \to 2^-} f(f(x-1)) + \lim_{x \to 2^-} f(f(3-x))
limitinin değeri kaçtır?
  1. A
    7
  2. B
    14
  3. 16Cevap
  4. D
    18
  5. E
    Limit yoktur

Cevap

Doğru cevap 16'dır.
Doğru yanıt olan 16 değeri, bileşke fonksiyon limitlerinde içten dışa doğru yönlü yaklaşım kuralları uygulanarak elde edilir. İlk terimde x→2−x \to 2^- yaklaşımı t=x−1→1−t = x-1 \to 1^- durumunu üretir. t<1t < 1 bölgesinden 11'e yaklaşırken f(t)=5−t2f(t) = 5-t^2 değerleri 44'e üstten (4+4^+) yaklaşır. Dolayısıyla dış limit lim⁡u→4+f(u)=9\lim_{u \to 4^+} f(u) = 9 olur. İkinci terimde x→2−x \to 2^- yaklaşımı s=3−x→1+s = 3-x \to 1^+ durumunu üretir. s>1s > 1 bölgesinden 11'e yaklaşırken f(s)=2s+1f(s) = 2s+1 değerleri 33'e üstten (3+3^+) yaklaşır. Dolayısıyla dış limit lim⁡v→3+f(v)=7\lim_{v \to 3^+} f(v) = 7 olur. Bu iki limitin toplamı 9+7=169 + 7 = 16 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim olan lim⁡x→2−f(f(x−1))\lim_{x \to 2^-} f(f(x-1)) limitini hesaplamak için t=x−1t = x - 1 değişken değiştirmesi yapalım.
x→2−x \to 2^- iken x<2x < 2 olduğundan x−1<1x - 1 < 1 olur, yani t→1−t \to 1^- elde edilir. Limit lim⁡t→1−f(f(t))\lim_{t \to 1^-} f(f(t)) haline gelir.
Bileşke fonksiyonun limitini bulmak için öncelikle içteki fonksiyonun yaklaşma yönünü belirlemeliyiz.
2
t→1−t \to 1^- iken f(t)f(t) değerlerinin hangi değere ve hangi yönden yaklaştığını belirleyelim.
t<1t < 1 için f(t)=5−t2f(t) = 5 - t^2 fonksiyonunu kullanırız. t→1−t \to 1^- iken 5−t2→45 - t^2 \to 4 olur. t<1t < 1 iken t2<1  ⟹  −t2>−1  ⟹  5−t2>4t^2 < 1 \implies -t^2 > -1 \implies 5 - t^2 > 4 olduğundan, f(t)f(t) değerleri 44 değerine büyük değerlerden (sağdan) yaklaşır. Dolayısıyla f(t)→4+f(t) \to 4^+ olur.
Dıştaki fonksiyonun limitini hesaplarken içteki fonksiyonun limit değerine hangi yönden yaklaştığı önemlidir.
3
u=f(t)u = f(t) dersek limit lim⁡u→4+f(u)\lim_{u \to 4^+} f(u) olur. Bu limit değerini hesaplayalım.
u>1u > 1 için f(u)=2u+1f(u) = 2u + 1 tanımı geçerlidir. Buradan lim⁡u→4+(2u+1)=2(4)+1=9\lim_{u \to 4^+} (2u + 1) = 2(4) + 1 = 9 bulunur.
Dıştaki limit olan 44 noktasındaki sağdan limiti uygun fonksiyon parçasıyla hesaplamak için.
4
İkinci terim olan lim⁡x→2−f(f(3−x))\lim_{x \to 2^-} f(f(3-x)) limitini hesaplamak için s=3−xs = 3 - x değişken değiştirmesi yapalım.
x→2−x \to 2^- iken x<2  ⟹  −x>−2  ⟹  3−x>1x < 2 \implies -x > -2 \implies 3 - x > 1 olur, yani s→1+s \to 1^+ elde edilir. Limit lim⁡s→1+f(f(s))\lim_{s \to 1^+} f(f(s)) haline gelir.
İkinci bileşke limitin iç kısmını analiz etmek için.
5
s→1+s \to 1^+ iken f(s)f(s) değerlerinin yaklaşma yönünü belirleyelim.
s>1s > 1 için f(s)=2s+1f(s) = 2s + 1 tanımı geçerlidir. s→1+s \to 1^+ iken 2s+1→32s + 1 \to 3 olur. s>1  ⟹  2s>2  ⟹  2s+1>3s > 1 \implies 2s > 2 \implies 2s + 1 > 3 olduğundan f(s)→3+f(s) \to 3^+ elde edilir. v=f(s)v = f(s) dersek limit lim⁡v→3+f(v)\lim_{v \to 3^+} f(v) olur.
İkinci terimin dış fonksiyonunun limit yönünü belirlemek için.
6
lim⁡v→3+f(v)\lim_{v \to 3^+} f(v) limit değerini hesaplayalım.
v>1v > 1 için f(v)=2v+1f(v) = 2v + 1 olduğundan, lim⁡v→3+(2v+1)=2(3)+1=7\lim_{v \to 3^+} (2v + 1) = 2(3) + 1 = 7 bulunur.
İkinci terimin limit değerini bulmak için.
7
Bulunan iki limit değerini toplayalım.
9+7=169 + 7 = 16 elde edilir.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Limit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)
Bu soruyu puanla

Konular

Limit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)

Bu konudan daha fazla soru