Examkin

Soru

Zorluk: ZorTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 eğrisi üzerindeki A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasından çizilen teğet doğrusu, bu eğriyi başka bir BB noktasında kesmektedir. BB noktasından eğriye çizilen teğet doğrusunun eğimi 99 ve a>1a > 1 olduğuna göre, AA noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    8
  3. 2Cevap
  4. D
    7
  5. E
    24

Cevap

Apsisi a=2a = 2 olan AA noktasının koordinatları toplamı 22'dir.
Koşulları sağlayan teğet noktası A(2,0)A(2, 0) olarak bulunur ve koordinatları toplamı 22 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x elde edilir.
Eğri üzerindeki herhangi bir noktadan çizilen teğetin eğimini bulmak için türev fonksiyonu gereklidir.
2
A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusunun eğriyi kestiği diğer nokta B(b,f(b))B(b, f(b)) olarak belirlenir ve kökler toplamı ilişkisi kurulur.
2a+b=3  ⟹  b=3−2a2a + b = 3 \implies b = 3 - 2a bulunur.
Kübik bir fonksiyona teğet olan doğru ile fonksiyonun kesişim noktalarının apsisleri toplamı, x3−3x2+⋯=0x^3 - 3x^2 + \dots = 0 denkleminden 2a+b=32a + b = 3 olur (aa teğet noktası olduğundan çift katlı köktür).
3
B(b,f(b))B(b, f(b)) noktasındaki teğet eğimi kullanılarak bb değerleri hesaplanır.
f′(b)=9  ⟹  3b2−6b=9  ⟹  b2−2b−3=0  ⟹  b=3f'(b) = 9 \implies 3b^2 - 6b = 9 \implies b^2 - 2b - 3 = 0 \implies b = 3 veya b=−1b = -1 bulunur.
BB noktasından çizilen teğetin eğimi 99 olarak verilmiştir.
4
a>1a > 1 koşulu kullanılarak uygun aa değeri seçilir.
b=3  ⟹  a=0b = 3 \implies a = 0 (koşulu sağlamaz), b=−1  ⟹  a=2b = -1 \implies a = 2 (koşulu sağlar) olarak bulunur.
Soruda teğet noktasının apsisi aa'nın 11'den büyük olduğu belirtilmiştir.
5
AA noktasının koordinatları belirlenir ve toplamı hesaplanır.
A(2,f(2))=A(2,0)A(2, f(2)) = A(2, 0) noktası ve koordinatlar toplamı 2+0=22 + 0 = 2 bulunur.
AA noktasının ordinatı f(2)=23−3(22)+4=0f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4 = 0 şeklindedir.

Anahtar Kavram

Bir kübik eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğriyle ikinci kesim noktası ve teğet eğimi ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru