Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
π<x<5π4\pi < x < \frac{5\pi}{4} olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=cos⁡x−cot⁡xc=sin⁡x−tan⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \cos x - \cot x \\ c &= \sin x - \tan x \end{aligned}

sayılarının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    c<b<ac < b < a
  2. B
    b<a<cb < a < c
  3. b<c<ab < c < aCevap
  4. D
    a<c<ba < c < b
  5. E
    c<a<bc < a < b

Cevap

b < c < a sıralaması doğrudur.
Doğru sıralama olan b < c < a ilişkisi, üçüncü bölgede kosinüsün sinüsten daha küçük negatif değer alması, kotanjantın tanjanttan büyük pozitif değer alması ve pozitif-negatif değerlerin kendi aralarında kıyaslanmasıyla kesin olarak saptanır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini belirleyip fonksiyonların işaret ve büyüklüklerini analiz etme
π<x<5π4\pi < x < \frac{5\pi}{4} aralığı birim çemberde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede:
- sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0
- tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0
- Açı 5π4\frac{5\pi}{4} değerinden küçük oldu��undan, bu aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsün mutlak değerinden büyüktür. Dolayısıyla cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 ilişkisi vardır.
- Yine bu aralıkta tanjant değeri 11'den küçük, kotanjant değeri ise 11'den büyüktür: 0<tan⁡x<1<cot⁡x0 < \tan x < 1 < \cot x.
Sıralama yapılacak ifadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini belirlemek için bölge analizine ihtiyaç duyulur.
2
a, b ve c sayılarının işaretlerini belirleme
- a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x: sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x olduğundan (örneğin −0.5>−0.866-0.5 > -0.866), bu fark pozitif bir değer üretir (a>0a > 0).
- b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x: Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için sonuç kesinlikle negatiftir (b<0b < 0).
- c=sin⁡x−tan⁡xc = \sin x - \tan x: Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için sonuç kesinlikle negatiftir (c<0c < 0).
İfadelerin pozitiflik ve negatiflik durumları belirlenerek sıralamada genel bir taslak oluşturulur.
3
Negatif olan b ve c değerlerini kendi aralarında kıyaslama
bb ve cc değerlerinin farkına bakalım: b−c=(cos⁡x−cot⁡x)−(sin⁡x−tan⁡x)=(cos⁡x−sin⁡x)+(tan⁡x−cot⁡x)b - c = (\cos x - \cot x) - (\sin x - \tan x) = (\cos x - \sin x) + (\tan x - \cot x)
- cos⁡x<sin⁡x  ⟹  cos⁡x−sin⁡x<0\cos x < \sin x \implies \cos x - \sin x < 0 (negatif)
- tan⁡x<cot⁡x  ⟹  tan⁡x−cot⁡x<0\tan x < \cot x \implies \tan x - \cot x < 0 (negatif)
İki negatif değerin toplamı da negatif olacağından b−c<0b - c < 0 yani b<cb < c elde edilir.
Her ikisi de negatif olan iki değerin hangisinin daha küçük olduğunu bulmak için farkları analiz edilir.
4
Genel sıralamayı birleştirme
b<c<0<ab < c < 0 < a olduğundan doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Elde edilen tüm büyüklük ilişkileri bir araya getirilerek nihai sıralama oluşturulur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İşaretleri ve Sıralaması
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru