x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere, a = \sin x + \cos x b = \tan … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ olmak üzere,

a = \sin x + \cos x

b = \tan x + \cot x

c = \sec x + \csc x

ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

a < b < c

Verilen aralıkta

a < 2

b > 2

c = a \cdot b > b

olduğundan doğru sıralama

a < b < c

şeklindedir.

Tanım aralığına göre temel trigonometrik fonksiyonların sınırlarını belirlemek.

x \in (\pi/4, \pi/2)

aralığı için

\sin x > \cos x > 0

\tan x > 1 > \cot x > 0

eşitsizlikleri geçerlidir. Ayrıca,

2x \in (\pi/2, \pi)

olduğundan

0 < \sin 2x < 1

olur.

Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını tespit ederek sıralama kriterlerini oluşturmak.

a

b

değerlerinin sınırlarını analiz etmek.

a = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \pi/4)

yazılır.

x + \pi/4 \in (\pi/2, 3\pi/4)

olduğundan

\sin(x+\pi/4) \in (\sqrt{2}/2, 1)

ve buradan

a \in (1, \sqrt{2}]

elde edilir.

b = \tan x + \cot x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}

olur.

\sin 2x < 1

olduğundan

b > 2

'dir. Buradan

a < b

sonucu çıkar.

İfadeleri sadeleştirerek net sayısal aralıklara ulaşmak.

c

değerini

a

b

cinsinden yazıp karşılaştırmak.

c = \sec x + \csc x = \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x} = a \cdot b

olur.

a > 1

b > 2

olduğundan,

c = a \cdot b > b

elde edilir.

Çarpımsal ilişkiyi kullanarak en büyük değeri belirlemek.

Trigonometrik fonksiyonların belirli bölgelerde aldığı değer aralıklarının karşılaştırılması ve özdeşlikler yardımıyla sadeleştirilmesi.

Soru