Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2
parabolünün üzerindeki bir P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusu,
y+3x−5=0y + 3x - 5 = 0
doğrusuna diktir.

Buna göre, PP noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

  1. A
    109\frac{10}{9}
  2. B
    54\frac{5}{4}
  3. 139\frac{13}{9}Cevap
  4. D
    53\frac{5}{3}
  5. E
    2

Cevap

Teğet noktasının koordinatları toplamı olan 139\frac{13}{9} seçeneğidir.
Teğet doğrusunun eğimi, dik olduğu doğrunun eğiminin negatif tersidir. Buradan teğet noktasının apsisi x0=53x_0 = \frac{5}{3} ve ordinatı y0=−29y_0 = -\frac{2}{9} olarak bulunur. Koordinatlar toplamı 139\frac{13}{9} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimini bulunuz.
y+3x−5=0  ⟹  y=−3x+5y + 3x - 5 = 0 \implies y = -3x + 5 olduğundan bu doğrunun eğimi m=−3m = -3 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun bu doğruya dik olduğu bilgisiyle teğet doğrusunun eğimini bulmak için.
2
Teğet doğrusunun eğimini (mtm_t) hesaplayınız.
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1 olduğundan, mt⋅(−3)=−1  ⟹  mt=13m_t \cdot (-3) = -1 \implies m_t = \frac{1}{3} elde edilir.
Bir noktadaki türev değerinin o noktadaki teğetin eğimine eşit olması kuralını uygulamak için.
3
Türev alma kurallarını kullanarak teğet noktasının apsisini (x0x_0) bulunuz.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 olup, f′(x0)=mt  ⟹  2x0−3=13  ⟹  2x0=103  ⟹  x0=53f'(x_0) = m_t \implies 2x_0 - 3 = \frac{1}{3} \implies 2x_0 = \frac{10}{3} \implies x_0 = \frac{5}{3} bulunur.
Teğet noktasının parabol üzerindeki konumunu belirlemek için.
4
Teğet noktasının ordinatını (y0y_0) ve koordinatları toplamını hesaplayınız.
y0=f(53)=(53)2−3(53)+2=259−5+2=−29y_0 = f\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 3\left(\frac{5}{3}\right) + 2 = \frac{25}{9} - 5 + 2 = -\frac{2}{9} bulunur. Buradan koordinatlar toplamı: x0+y0=53−29=15−29=139x_0 + y_0 = \frac{5}{3} - \frac{2}{9} = \frac{15 - 2}{9} = \frac{13}{9} elde edilir.
İstenen toplamı bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir. Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru