Bir fabrikada yeni işe başlayan bir işçinin günlük ürettiği ürün sayısı, işe başlamasından… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir fabrikada yeni işe başlayan bir işçinin günlük ürettiği ürün sayısı, işe başlamasından itibaren geçen $t$ (gün) süresine bağlı olarak

P(t) = L - (L - P_0)e^{-k \cdot t}

fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu modelde;
* $L$ , işçinin ulaşabileceği maksimum günlük ürün sayısını,
* $P_0$ , işçinin işe başladığı andaki (başlangıçtaki) günlük ürün sayısını,
* $k$ ise öğrenme katsayısı olan pozitif bir sabiti

temsil etmektedir. Bu fabrikada işe yeni başlayan bir işçinin maksimum kapasitesi günlük 80 ürün, başlangıçtaki günlük ürün sayısı ise 20 üründür.

İşe başladıktan 5 gün sonra günlük 50 ürün üretebilen bu işçinin, günlük 70 ürün üretebilecek duruma gelmesi için işe başlamasından itibaren toplam kaç gün geçmelidir?

A
$5 \log_2 3$
B
$5 + \log_2 3$
$5 \log_2 6$ Cevap
D
$10 \log_2 3$
E
$5 \log_6 2$

Cevap

İşçinin günlük 70 ürün üretebilmesi için işe başlamasından itibaren geçmesi gereken toplam süre

5 \log_2 6

gündür.

Model denklemleri adım adım uygulandığında, işçinin üretim kapasitesinin 70'e ulaşması için geçen sürenin üstel denklemi

2^{t/5} = 6

olarak bulunur. Bu denklemin çözümü logaritma tanımı gereği

t = 5 \log_2 6

gün değerini verir.

Adım Adım Çözüm

Verilen başlangıç ve maksimum kapasite değerlerini modele yerleştirmek.

L = 80

P_0 = 20

değerleri fonksiyonda yerine yazıldığında model

P(t) = 80 - (80 - 20)e^{-k \cdot t} = 80 - 60e^{-k \cdot t}

halini alır.

Problemin sayısal verilerini modele uygulayarak fonksiyonu sadeleştirmek.

İşe başladıktan 5 gün sonraki kapasite değerini kullanarak modelin taban sabitini bulmak.

P(5) = 50 \implies 80 - 60e^{-5k} = 50 \implies 60e^{-5k} = 30 \implies e^{-5k} = \frac{1}{2} \implies e^{-k} = 2^{-1/5}

elde edilir.

Zamana bağlı üstel değişimi sağlayan temel sabiti belirlemek.

İşçinin günlük 70 ürün üreteceği hedef süreyi veren denklemi kurmak.

P(t) = 70 \implies 80 - 60e^{-k \cdot t} = 70 \implies 60e^{-k \cdot t} = 10 \implies e^{-k \cdot t} = \frac{1}{6}

bulunur.

İstenen hedef durumu matematiksel eşitliğe dökmek.

İkinci adımda bulunan

e^{-k}

değerini yerine yazarak üstel denklemi logaritma yardımıyla çözmek.

(2^{-1/5})^t = 6^{-1} \implies 2^{-t/5} = 6^{-1} \implies 2^{t/5} = 6 \implies \frac{t}{5} = \log_2 6 \implies t = 5 \log_2 6

olarak hesaplanır.

Bilinmeyen süre değişkenini logaritma kurallarıyla yalnız bırakıp sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Üstel büyüme ve azalış modellerinde bilinmeyen süreyi logaritma kullanarak çözme

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular