Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve başkatsayısı aa olan
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
parabolünün simetri ekseni x=3x = 3 doğrusudur.
f(1)+f(2)=12f(1) + f(2) = 12
f(4)+f(5)=2a+4f(4) + f(5) = 2a + 4
olduğunu göre, bu parabolün tepe noktasının ordinatı kaçt��r?
  1. A
    -76
  2. B
    -14
  3. -4Cevap
  4. D
    3
  5. E
    68

Cevap

Tepe noktasının ordinatı -4 değerine eşittir.
Parabolün simetri ekseni x=3x = 3 doğrusu olduğu için bu doğruya eşit uzaklıktaki x=1x=1 ve x=5x=5 noktalarında fonksiyon değerleri birbirine eşittir (f(1)=f(5)f(1) = f(5)). Benzer şekilde f(2)=f(4)f(2) = f(4) eşitliği geçerlidir. Bu durum f(4)+f(5)=2a+4f(4) + f(5) = 2a + 4 ifadesini f(2)+f(1)=2a+4f(2) + f(1) = 2a + 4 biçimine dönüştürür. Soruda verilen f(1)+f(2)=12f(1) + f(2) = 12 bilgisi kullanılarak 2a+4=12  ⟹  a=42a + 4 = 12 \implies a = 4 başkatsayısı elde edilir. Tepe noktası formunda kurulan f(x)=4(x−3)2+kf(x) = 4(x-3)^2 + k denkleminde f(1)+f(2)=12f(1) + f(2) = 12 eşitliği çözüldüğünde tepe noktasının ordinatını temsil eden kk değeri −4-4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri ekseni özelliğini kullanarak fonksiyon değerlerini ilişkilendirme
f(1)=f(5)f(1) = f(5) ve f(2)=f(4)f(2) = f(4)
Parabolün simetri ekseni x=3x = 3 doğrusu olduğundan, bu doğruya eşit uzakl��ktaki noktaların fonksiyon altındaki görüntüleri birbirine eşittir. 11 ve 55 noktaları ile 22 ve 44 noktaları sırasıyla simetri eksenine eşit uzaklıktadır.
2
Verilen ikinci denklemde simetrik değerleri yerine yazarak başkatsayıyı bulma
a=4a = 4
f(4)+f(5)=2a+4f(4) + f(5) = 2a + 4 denkleminde f(4)f(4) yerine f(2)f(2) ve f(5)f(5) yerine f(1)f(1) yazılırsa f(2)+f(1)=2a+4f(2) + f(1) = 2a + 4 elde edilir. Bize f(1)+f(2)=12f(1) + f(2) = 12 olarak verildiğinden, 12=2a+4  ⟹  2a=8  ⟹  a=412 = 2a + 4 \implies 2a = 8 \implies a = 4 bulunur.
3
Parabolü tepe noktası formunda yazma ve ordinatı bulma
k=−4k = -4
Tepe noktası T(3,k)T(3, k) olan parabolün denklemi f(x)=a(x−3)2+kf(x) = a(x-3)^2 + k formunda yazılabilir. a=4a = 4 olduğundan f(x)=4(x−3)2+kf(x) = 4(x-3)^2 + k olur. f(1)+f(2)=12f(1) + f(2) = 12 eşitliğinde değerler yerine yazıldığında: f(1)=4(1−3)2+k=16+kf(1) = 4(1-3)^2 + k = 16 + k ve f(2)=4(2−3)2+k=4+kf(2) = 4(2-3)^2 + k = 4 + k bulunur. Buradan (16+k)+(4+k)=12  ⟹  20+2k=12  ⟹  2k=−8  ⟹  k=−4(16 + k) + (4 + k) = 12 \implies 20 + 2k = 12 \implies 2k = -8 \implies k = -4 elde edilir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri eksenine göre simetrik olan noktaların fonksiyon altındaki görüntüleri eşittir ve tepe noktası yardımıyla parabol denklemi kurulabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Bu konudan daha fazla soru