Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡xa = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x} + \sin x
b=tan⁡x−cot⁡xsec⁡x−csc⁡xb = \frac{\tan x - \cot x}{\sec x - \csc x}
c=1−sin⁡2xcos⁡x⋅cot⁡xc = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x \cdot \cot x}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. b<c<ab < c < aCevap
  2. B
    b<a<cb < a < c
  3. C
    a<b<ca < b < c
  4. D
    c<b<ac < b < a
  5. E
    a<c<ba < c < b

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b < c < a şeklindedir.
Sadeleştirmeler sonucunda a=2sin⁡x−cos⁡xa = 2\sin x - \cos x, b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x ve c=sin⁡xc = \sin x ifadelerine ulaşılır. Tanımlanan bölgede cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 olduğundan, iki negatif sayının toplamı olan bb ifadesi en küçük negatif değerdir. aa ise en büyük değere (sıfıra en yakın) sahiptir. Bu durumda doğru sıralama küçükten büyüğe b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesindeki köklü kısmı tam kare özdeşliği kullanarak mutlak değer dışına çıkarırız.
1−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 olduğundan (sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| olur. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 olduğundan sin⁡x−cos⁡x>0\sin x - \cos x > 0 olur. Dolayısıyla ∣sin⁡x−cos⁡x∣=sin⁡x−cos⁡x|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x olarak çıkar. Buradan a=sin⁡x−cos⁡x+sin⁡x=2sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x + \sin x = 2\sin x - \cos x elde edilir.
Köklü ifadeleri sadeleştirmek ve bölge analizine göre mutlak değerden kurtulmak için.
2
bb ifadesini sinüs ve kosinüs fonksiyonları türünden yazarak sadeleştiririz.
b=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡xsin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡x−cos⁡x=sin⁡x+cos⁡xb = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x - \cos x} = \sin x + \cos x bulunur.
Rasyonel trigonometrik ifadeyi en sade biçimine getirmek için.
3
cc ifadesini temel trigonometrik özdeşliklerle sadeleştiririz.
1−sin⁡2x=cos⁡2x1 - \sin^2 x = \cos^2 x ve cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} yazılırsa, c=cos⁡2xcos⁡x⋅cos⁡xsin⁡x=cos⁡2xcos⁡2xsin⁡x=sin⁡xc = \frac{\cos^2 x}{\cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{\cos^2 x}{\frac{\cos^2 x}{\sin x}} = \sin x elde edilir.
Pay ve paydadaki sadeleşebilir terimleri belirleyerek tek bir fonksiyon elde etmek için.
4
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre elde edilen aa, bb ve cc değerlerini sıralarız.
Bu aralıkta cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 ilişkisi vardır. b−c=(sin⁡x+cos⁡x)−sin⁡x=cos⁡x<0  ⟹  b<cb - c = (\sin x + \cos x) - \sin x = \cos x < 0 \implies b < c olur. a−c=(2sin⁡x−cos⁡x)−sin⁡x=sin⁡x−cos⁡x>0  ⟹  c<aa - c = (2\sin x - \cos x) - \sin x = \sin x - \cos x > 0 \implies c < a olur. Buradan b<c<ab < c < a sıralaması bulunur.
Sadeleşmiş ifadeleri üçüncü bölgedeki açı değerlerinin büyüklük ilişkilerine göre karşılaştırmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadeleri sadeleştirme ve belirli bölgelerdeki açıların trigonometrik değerlerini sıralama.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru