Examkin

Soru

Zorluk: ZorSinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde, ABAB kenarı üzerinde bir DD noktası işaretlenmiştir.

[CD]⊥[BC][CD] \perp [BC], m(ACD^)=30∘m(\widehat{ACD}) = 30^\circ ve ∣AD∣=2∣BD∣|AD| = 2|BD|

olduğuna göre, ∣AC∣∣BC∣\frac{|AC|}{|BC|} oranı kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

İstenen oran 4 olarak bulunur.
Ortak kenara sahip üçgenlerde Sinüs Teoremi uygulanıp verilen oranlar yerine yazıldığında, büyük üçgendeki kenar oranının sinüs oranına eşit olduğu görülür ve sonuç 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
BCDBCD dik üçgeninde sinüs tanımı yazılır.
BD=CDsin⁡(B)BD = \frac{CD}{\sin(B)}
[CD]⊥[BC][CD] \perp [BC] olduğundan m(BCD^)=90∘m(\widehat{BCD}) = 90^\circ dir. BCDBCD dik üçgeninde sin⁡(B)=CDBD\sin(B) = \frac{CD}{BD} olur.
2
ACDACD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.
ADsin⁡(30∘)=CDsin⁡(A)  ⟹  AD=CD2sin⁡(A)\frac{AD}{\sin(30^\circ)} = \frac{CD}{\sin(A)} \implies AD = \frac{CD}{2\sin(A)}
ACDACD üçgeninin AA ve CC açılarının karşılarındaki kenarlar sırasıyla CDCD ve ADAD olduğundan Sinüs Teoremi doğrudan uygulanabilir.
3
∣AD∣=2∣BD∣|AD| = 2|BD| eşitliğinde elde edilen ifadeler yerine yazılır.
sin⁡(B)sin⁡(A)=4\frac{\sin(B)}{\sin(A)} = 4
CD2sin⁡(A)=2⋅CDsin⁡(B)  ⟹  12sin⁡(A)=2sin⁡(B)\frac{CD}{2\sin(A)} = 2 \cdot \frac{CD}{\sin(B)} \implies \frac{1}{2\sin(A)} = \frac{2}{\sin(B)} eşitliğinden oran elde edilir.
4
ABCABC üçgeninin tamamında Sinüs Teoremi kullanılarak istenen oran hesaplanır.
∣AC∣∣BC∣=sin⁡(B)sin⁡(A)=4\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{\sin(B)}{\sin(A)} = 4
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi gereği ∣AC∣sin⁡(B)=∣BC∣sin⁡(A)\frac{|AC|}{\sin(B)} = \frac{|BC|}{\sin(A)} bağ��ntısı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoreminin ortak kenar içeren alt üçgenlerde uygulanarak oran bulma amacıyla kullanılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru