Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sec⁡x⋅csc⁡xsec⁡x+csc⁡xa = \frac{\sec x \cdot \csc x}{\sec x + \csc x}
b=1+2sin⁡xcos⁡x−2sin⁡xb = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} - 2\sin x
c=tan⁡x−sin⁡xsin⁡x⋅tan⁡xc = \frac{\tan x - \sin x}{\sin x \cdot \tan x}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. b<c<ab < c < aCevap
  2. B
    b<a<cb < a < c
  3. C
    a<b<ca < b < c
  4. D
    c<b<ac < b < a
  5. E
    c<a<bc < a < b

Cevap

b<c<ab < c < a sıralaması doğrudur.
b<c<ab < c < a sıralamasını içeren seçenek doğrudur. Çünkü verilen aralıkta bb ifadesi negatif bir değer alırken, aa ve cc ifadeleri 11'den büyüktür. aa ve cc ifadelerinin farkı incelendiğinde a>ca > c olduğu kanıtlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım aralığını incelemek ve temel işaretleri belirlemek.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı analitik düzlemde ikinci bölgededir. Bu bölgede sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve tan⁡x<0\tan x < 0 olur. Ayrıca x<3π4x < \frac{3\pi}{4} olduğundan ∣sin⁡x∣>∣cos⁡x∣|\sin x| > |\cos x| olup sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 ve sin⁡x+cos⁡x<1\sin x + \cos x < 1 eşitsizlikleri geçerlidir.
İfadelerin işaretlerini belirlemek ve sadeleştirme adımlarında mutlak değerden çıkarma işlemlerini doğru yapabilmek için bölge analizi şarttır.
2
aa ifadesini sadeleştirmek.
a=1cos⁡x⋅1sin⁡x1cos⁡x+1sin⁡x=1sin⁡xcos⁡xsin⁡x+cos⁡xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡x+cos⁡xa = \frac{\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x}} = \frac{1}{\sin x + \cos x} olarak bulunur. 0<sin⁡x+cos⁡x<10 < \sin x + \cos x < 1 olduğundan a>1a > 1 olur.
Sekant ve kosekant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak ifadeyi basitleştirmek gerekir.
3
bb ifadesini sadeleştirmek.
b=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x−2sin⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)2−2sin⁡x=∣sin⁡x+cos⁡x∣−2sin⁡xb = \sqrt{\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x} - 2\sin x = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} - 2\sin x = |\sin x + \cos x| - 2\sin x olur. İkinci adımda bulduğumuz üzere sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 olduğundan mutlak değer dışına aynen çıkar: b=sin⁡x+cos⁡x−2sin⁡x=cos⁡x−sin⁡xb = \sin x + \cos x - 2\sin x = \cos x - \sin x. Bu aralıkta cos⁡x<0\cos x < 0 ve sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan b<0b < 0 olur.
Karekök içindeki ifadeyi tam kare biçiminde yazarak mutlak değer yardımıyla sadeleştirmek gerekir.
4
cc ifadesini sadeleştirmek.
c=tan⁡xsin⁡x⋅tan⁡x−sin⁡xsin⁡x⋅tan⁡x=1sin⁡x−1tan⁡x=csc⁡x−cot⁡x=1−cos⁡xsin⁡xc = \frac{\tan x}{\sin x \cdot \tan x} - \frac{\sin x}{\sin x \cdot \tan x} = \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x} = \csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x} elde edilir. cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan 1−cos⁡x>11 - \cos x > 1 ve 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 olduğundan c>1c > 1 olur.
Rasyonel ifadeyi paydalarına ayırıp sadeleştirerek karşılaştırılabilir bir biçime getirmek gerekir.
5
aa ve cc değerlerini karşılaştırmak.
a−c=1sin⁡x+cos⁡x−1−cos⁡xsin⁡x=−cos⁡x(1−sin⁡x−cos⁡x)sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)a - c = \frac{1}{\sin x + \cos x} - \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{-\cos x(1 - \sin x - \cos x)}{\sin x(\sin x + \cos x)} elde edilir. Paydadaki tüm terimler pozitiftir. Pay kısmında ise −cos⁡x>0-\cos x > 0 ve sin⁡x+cos⁡x<1  ⟹  1−sin⁡x−cos⁡x>0\sin x + \cos x < 1 \implies 1 - \sin x - \cos x > 0 olduğundan pay da pozitiftir. Dolayısıyla a−c>0  ⟹  a>ca - c > 0 \implies a > c olur. Sonuç olarak b<0b < 0 ve a,c>1a, c > 1 olduğundan sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
İki pozitif değer arasındaki büyüklük ilişkisini fark yöntemiyle belirlemek sıralamayı tamamlar.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru