Examkin

Soru

Zorluk: ZorSinüs Teoremi
Bir ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı RR birimdir. Bu üçgenin iç bölgesinde alınan bir PP noktası için
m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ
m(BPC^)=150∘m(\widehat{BPC}) = 150^\circ
olarak veriliyor.

PBCPBC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı rr birim olduğuna göre, Rr\frac{R}{r} oranı kaçtır?

  1. 33\frac{\sqrt{3}}{3}Cevap
  2. B
    3\sqrt{3}
  3. C
    233\frac{2\sqrt{3}}{3}
  4. D
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  5. E
    12\frac{1}{2}

Cevap

R/roranı33olarakbulunur.R/r oranı \frac{\sqrt{3}}{3} olarak bulunur.
Sinüs Teoremi gereğince, ortak olan BC kenarının uzunluğu hem 2R⋅sin⁡(120∘)2R \cdot \sin(120^\circ) hem de 2r⋅sin⁡(150∘)2r \cdot \sin(150^\circ) ifadelerine eşittir. Buradan R3=rR\sqrt{3} = r bağıntısı elde edilir ve istenen oran 33\frac{\sqrt{3}}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABC üçgeninde BC kenarı ile çevrel çemberin yarıçapı R arasındaki ilişkiyi Sinüs Teoremi ile yazalım.
∣BC∣=2R⋅sin⁡(120∘)|BC| = 2R \cdot \sin(120^\circ)
Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende bir kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranı çevrel çemberin çapına (2R2R) eşittir.
2
PBC üçgeninde ortak olan BC kenarı ile çevrel çemberin yarıçapı r arasındaki ilişkiyi Sinüs Teoremi ile yazalım.
∣BC∣=2r⋅sin⁡(150∘)|BC| = 2r \cdot \sin(150^\circ)
Aynı teorem ortak BC kenarına sahip olan PBC üçgeni için de geçerlidir.
3
Trigonometrik açı indirgeme formüllerini kullanarak sin⁡(120∘)\sin(120^\circ) ve sin⁡(150∘)\sin(150^\circ) değerlerini hesaplayalım.
sin⁡(120∘)=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡(60∘)=32\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve sin⁡(150∘)=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡(30∘)=12\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
İkinci bölgedeki açıların sinüs değerleri pozitif olup, bütünler açılarının sinüslerine eşittir.
4
Bulduğumuz sinüs değerlerini ∣BC∣|BC| eşitliklerinde yerine koyarak R ve r cinsinden ifadeleri eşitleyelim.
2R⋅32=2r⋅12  ⟹  R3=r2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2r \cdot \frac{1}{2} \implies R\sqrt{3} = r
Her iki üçgende de ∣BC∣|BC| uzunluğu ortak olduğundan, elde edilen iki ifade birbirine eşittir.
5
Elde edilen eşitlikten Rr\frac{R}{r} oranını çekelim.
Rr=13=33\frac{R}{r} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
Eşitliğin her iki tarafını r ve 3\sqrt{3} ile bölerek istenen oranı buluruz.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Çevrel Çember İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru