Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Aşağıda verilen aa, bb, cc ve dd trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1d=cot⁡(310∘)d = \cot(310^\circ)
  2. 2b=cos⁡(290∘)b = \cos(290^\circ)
  3. 3c=tan⁡(220∘)c = \tan(220^\circ)
  4. 4a=sin⁡(100∘)a = \sin(100^\circ)

Cevap

Doğru sıralama d < b < c < a şeklindedir.
Kotanjantın negatif olması dd değerini en küçük yapar. Diğer pozitif terimlerin birinci bölgeye indirgenmiş halleri b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ), c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ve a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) şeklindedir. Birinci bölgede sinüsün tanjanttan küçük olması ve yarım açı analizinden sin⁡(80∘)>tan⁡(40∘)\sin(80^\circ) > \tan(40^\circ) gelmesi nedeniyle doğru sıralama d<b<c<ad < b < c < a olur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadelerin bölgelerini belirleyip işaret analizi yapma.
d=cot⁡(310∘)<0d = \cot(310^\circ) < 0 (IV. bölge), b=cos⁡(290∘)>0b = \cos(290^\circ) > 0 (IV. bölge), c=tan⁡(220∘)>0c = \tan(220^\circ) > 0 (III. bölge) ve a=sin⁡(100∘)>0a = \sin(100^\circ) > 0 (II. bölge) bulunur.
Negatif olan dd değerinin en küçük terim olduğunu saptamak için.
2
Pozitif değerleri I. bölgedeki dar açılara indirgeme.
b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ), c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ve a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) değerleri elde edilir.
Birinci bölgede bilinen sıralama kurallarını ve trigonometrik özdeşlikleri uygulayabilmek için.
3
b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ) ile c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) değerlerini karşılaştırma.
0<x<90∘0 < x < 90^\circ için sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x olduğundan sin⁡(20∘)<tan⁡(20∘)\sin(20^\circ) < \tan(20^\circ)'dir. Tanjant fonksiyonu birinci bölgede artan olduğundan tan⁡(20∘)<tan⁡(40∘)\tan(20^\circ) < \tan(40^\circ) olur. Buradan b<cb < c elde edilir.
Sinüs ve tanjant fonksiyonlarının birinci bölgedeki davranışlarını kıyaslamak için.
4
c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ile a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) değerlerini karşılaştırma.
sin⁡(80∘)=2sin⁡(40∘)cos⁡(40∘)\sin(80^\circ) = 2 \sin(40^\circ) \cos(40^\circ) yarım açı açılımı ile tan⁡(40∘)=sin⁡(40∘)cos⁡(40∘)\tan(40^\circ) = \frac{\sin(40^\circ)}{\cos(40^\circ)} kıyaslanır. İki ifade oranlandığında sin⁡(80∘)tan⁡(40∘)=2cos⁡2(40∘)\frac{\sin(80^\circ)}{\tan(40^\circ)} = 2 \cos^2(40^\circ) elde edilir. 40∘<45∘40^\circ < 45^\circ olduğundan cos⁡(40∘)>cos⁡(45∘)=22\cos(40^\circ) > \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ve dolayısıyla cos⁡2(40∘)>12\cos^2(40^\circ) > \frac{1}{2} olur. Buradan 2cos⁡2(40∘)>12\cos^2(40^\circ) > 1 yani a>ca > c elde edilir.
Yarım açı formülü yardımıyla iki pozitif değer arasındaki kesin büyüklük ilişkisini kurmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretleri, indirgeme formülleri ve birinci bölgedeki büyüklük ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru