(a_n) ve (b_n) dizileri, her n \in \mathbb{Z}^+ için a_n = \cos(n\pi) \cdot (2x - y) + x +… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

(a_n)

(b_n)

dizileri, her

n \in \mathbb{Z}^+

için

a_n = \cos(n\pi) \cdot (2x - y) + x + 3y

b_n = \sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right) \cdot (x + 2) + 6

genel terimleriyle verilmektedir.

$(a_n)$ ve $(b_n)$ eşit iki dizi olduğuna göre, $x + y$ toplamının değeri kaçtır?

Dizilerin eşitlik koşulu ve trigonometrik sadeleştirmeler kullanılarak elde edilen x = 3 ve y = 1 değerlerinin toplamı olan 4 sayısı doğru cevaptır.

Doğru cevabın 4 olmasının nedeni, her iki dizinin genel terimlerindeki

(-1)^n

katsayılarının eşitliğinden

x - y = 2

ve sabit terimlerin eşitliğinden

x + 3y = 6

denklemlerinin elde edilmesidir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde

x = 3

y = 1

bulunur, toplamları ise 4 yapar.

Trigonometrik ifadeleri sadeleştirin.

\cos(n\pi) = (-1)^n

\sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right) = \cos(n\pi) = (-1)^n

eşitlikleri elde edilir.

Her iki dizideki

n

'e bağlı periyodik ifadeleri ortak bir tabanda yazmak için.

Dizilerin genel terimlerini

(-1)^n

türünden yeniden yazın.

a_n = (-1)^n(2x - y) + (x + 3y)

b_n = (-1)^n(x + 2) + 6

olur.

Dizilerin terimlerini karşılaştırılabilir hale getirmek için.

Eşit dizilerin tanımını kullanarak katsayıları eşitleyin.

2x - y = x + 2 \implies x - y = 2

x + 3y = 6

denklem sistemi elde edilir.

Her

n \in \mathbb{Z}^+

için

a_n = b_n

eşitliğinin sağlanması,

(-1)^n

teriminin katsayılarının ve sabit terimlerin karşılıklı eşit olmasını gerektirir.

Elde edilen denklem sistemini çözün ve istenen toplamı bulun.

y = 1

x = 3

olarak bulunur. Buradan

x + y = 3 + 1 = 4

elde edilir.

Bilinmeyen

x

y

parametrelerinin değerlerine ulaşmak için.

İki dizinin eşit olması için her n pozitif tam sayısı için genel terimlerinin birbirine eşit olması gerekir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru