Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

θ∈(5π4,4π3)\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right) olmak üzere,

x=sin⁡3θ−cos⁡3θ1+sin⁡θcos⁡θx = \frac{\sin^3\theta - \cos^3\theta}{1 + \sin\theta\cos\theta}
y=1−sec⁡2θ1−csc⁡2θy = \frac{1 - \sec^2\theta}{1 - \csc^2\theta}
z=sin⁡θ1+cos⁡θ+1+cos⁡θsin⁡θz = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} + \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1zz
  2. 2xx
  3. 3yy

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama z < x < y şeklindedir.
İfadelerin sadeleşmiş biçimleri sırasıyla x=sin⁡θ−cos⁡θx = \sin\theta - \cos\theta, y=tan⁡4θy = \tan^4\theta ve z=2csc⁡θz = 2\csc\theta olarak bulunur. Verilen θ\theta aralığında zz değeri −2-2 değerinden küçük negatif bir sayı, xx değeri −1-1 ile 00 arasında negatif bir sayı ve yy değeri 11 değerinden büyük pozitif bir sayı olduğundan doğru sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
xx ifadesini çarpanlara ayırma özdeşliklerini kullanarak sadeleştirin.
x=sin⁡θ−cos⁡θx = \sin\theta - \cos\theta
Pay kısmındaki sin⁡3θ−cos⁡3θ\sin^3\theta - \cos^3\theta ifadesi küp farkı açılımı ile (sin⁡θ−cos⁡θ)(sin⁡2θ+sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ)(\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) olarak yazılır. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 olduğu için bu ifade (sin⁡θ−cos⁡θ)(1+sin⁡θcos⁡θ)(\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta) olur. Payda ile sadeleştiğinde geriye sin⁡θ−cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta kalır.
2
yy ifadesini temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla basitleştirin.
y=tan⁡4θy = \tan^4\theta
1−sec⁡2θ=−tan⁡2θ1 - \sec^2\theta = -\tan^2\theta ve 1−csc⁡2θ=−cot⁡2θ1 - \csc^2\theta = -\cot^2\theta özdeşlikleri yerlerine yazıldığında, y=−tan⁡2θ−cot⁡2θ=tan⁡2θcot⁡2θ=tan⁡4θy = \frac{-\tan^2\theta}{-\cot^2\theta} = \frac{\tan^2\theta}{\cot^2\theta} = \tan^4\theta elde edilir.
3
zz ifadesinde paydaları eşitleyerek sadeleştirme yapın.
z=2sin⁡θ=2csc⁡θz = \frac{2}{\sin\theta} = 2\csc\theta
Paydalar eşlendiğinde pay kısmında sin⁡2θ+(1+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+1+2cos⁡θ+cos⁡2θ\sin^2\theta + (1 + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta ifadesi oluşur. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 olduğundan pay kısmı 2+2cos⁡θ=2(1+cos⁡θ)2 + 2\cos\theta = 2(1 + \cos\theta) haline gelir. Paydadaki 1+cos⁡θ1 + \cos\theta çarpanı ile sadeleştiğinde geriye 2sin⁡θ\frac{2}{\sin\theta} kalır.
4
θ∈(5π4,4π3)\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right) aralığına göre elde edilen ifadelerin değer sınırlarını karşılaştırın.
z<x<yz < x < y
Bu aralık birim çemberin üçüncü bölgesindedir. Burada sin⁡θ<cos⁡θ<0\sin\theta < \cos\theta < 0 olduğundan, x=sin⁡θ−cos⁡θ<0x = \sin\theta - \cos\theta < 0 olur. sin⁡θ∈(−32,−22)\sin\theta \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) olduğu için z=2sin⁡θ<−2z = \frac{2}{\sin\theta} < -2 bulunur. Üçüncü bölgede tan⁡θ>1\tan\theta > 1 olduğundan, y=tan⁡4θ>1y = \tan^4\theta > 1 olur. Bu durumda negatif ve mutlak değerce en büyük olan zz en küçük, negatif olan xx ortanca, pozitif olan yy ise en büyüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama Analizi
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru