Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSinüs Teoremi
Bir ABCABC üçgeninde,
∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}
∣AC∣=4 birim|AC| = 4\text{ birim}
m(ABC^)=θm(\widehat{ABC}) = \theta
m(ACB^)=90∘+θm(\widehat{ACB}) = 90^\circ + \theta
olduğuna göre, cot⁡θ\cot\theta değeri kaçt��r?
  1. 32\frac{3}{2}Cevap
  2. B
    −32-\frac{3}{2}
  3. C
    23\frac{2}{3}
  4. D
    −23-\frac{2}{3}
  5. E
    52\frac{5}{2}

Cevap

32\frac{3}{2}
Sinüs Teoremi gereği 4sin⁡θ=6sin⁡(90∘+θ)\frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\sin(90^\circ + \theta)} yazılır. İkinci bölgede sinüsün işareti pozitif olduğundan sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta olur. Buradan 4sin⁡θ=6cos⁡θ\frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\cos\theta} elde edilir ve içler dışlar çarpımıyla cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=32\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{3}{2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi bağıntısını yazın.
∣AC∣sin⁡(ABC^)=∣AB∣sin⁡(ACB^)  ⟹  4sin⁡θ=6sin⁡(90∘+θ)\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ABC})} = \frac{|AB|}{\sin(\widehat{ACB})} \implies \frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\sin(90^\circ + \theta)}
Bir üçgende kenar uzunlukları, karşılarındaki açıların sinüs değerleriyle doğru orantılıdır.
2
sin⁡(90∘+θ)\sin(90^\circ + \theta) ifadesine trigonometrik indirgeme uygulayın.
90∘+θ90^\circ + \theta açısı ikinci bölgededir. İkinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir ve açı 90∘90^\circ cinsinden yazıldığı için fonksiyon isim değiştirerek kosinüse dönüşür: sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta
Eşitliği sadeleştirmek ve tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemek için.
3
Elde edilen denklemi çözerek cot⁡θ\cot\theta değerini bulun.
4sin⁡θ=6cos⁡θ  ⟹  4cos⁡θ=6sin⁡θ  ⟹  cos⁡θsin⁡θ=64  ⟹  cot⁡θ=32\frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\cos\theta} \implies 4\cos\theta = 6\sin\theta \implies \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{6}{4} \implies \cot\theta = \frac{3}{2}
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Trigonometrik İndirgeme

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, ABCABC üçgeninde CC köşesinden [AB][AB] kenarına dikme indirilerek de dik üçgen yardımıyla çözüm yapılabilir, ancak Sinüs Teoremi doğrudan ve en hızlı çözümü sunar.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru