Examkin

Soru

Zorluk: KolayTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1b=cos⁡(250∘)b = \cos(250^\circ)
  2. 2a=sin⁡(160∘)a = \sin(160^\circ)
  3. 3c=tan⁡(220∘)c = \tan(220^\circ)

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Verilen değerlerin işaretleri incelendiğinde bb değerinin negatif, aa ve cc değerlerinin ise pozitif olduğu görülür. Buradan en küçük değerin bb olduğu anlaşılır. Pozitif olan aa ve cc değerleri birinci bölgeye indirgendiğinde a=sin⁡(20∘)a = \sin(20^\circ) ve c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) olur. Birinci bölgede sin⁡(20∘)<tan⁡(40∘)\sin(20^\circ) < \tan(40^\circ) bağıntısı geçerli olduğundan a<ca < c elde edilir. Bu durumları birleştirdiğimizde doğru sıralama b<a<cb < a < c olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
aa, bb ve cc değerlerinin açılarını bulundukları bölgelere göre inceleyip işaretlerini belirleyelim.
160∘160^\circ ikinci bölgede olduğundan a=sin⁡(160∘)>0a = \sin(160^\circ) > 0 (pozitif), 250∘250^\circ üçüncü bölgede olduğundan b=cos⁡(250∘)<0b = \cos(250^\circ) < 0 (negatif) ve 220∘220^\circ üçüncü bölgede olduğundan c=tan⁡(220∘)>0c = \tan(220^\circ) > 0 (pozitif) olur. Buradan negatif olan bb değerinin en küçük olduğu tespit edilir.
Farklı bölgelerdeki trigonometrik değerleri sıralarken işaret analizi yapmak kıyaslamayı büyük ölçüde kolaylaştırır.
2
Pozitif olan aa ve cc değerlerini kıyaslayabilmek için açıları birinci bölgeye indirgeyelim.
a=sin⁡(160∘)=sin⁡(180∘−20∘)=sin⁡(20∘)a = \sin(160^\circ) = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin(20^\circ) ve c=tan⁡(220∘)=tan⁡(180∘+40∘)=tan⁡(40∘)c = \tan(220^\circ) = \tan(180^\circ + 40^\circ) = \tan(40^\circ) eşitlikleri elde edilir.
Pozitif değerleri büyüklük yönünden karşılaştırmak için hepsini dar açı (birinci bölge) cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Birinci bölgedeki sin⁡(20∘)\sin(20^\circ) ile tan⁡(40∘)\tan(40^\circ) değerlerini karşılaştıralım.
Birinci bölgede (0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ) her xx açısı için sin⁡(x)<tan⁡(x)\sin(x) < \tan(x) eşitsizliği geçerlidir. Ayrıca açı büyüdükçe sinüs ve tanjant değerleri artar. Bu durumda sin⁡(20∘)<sin⁡(40∘)<tan⁡(40∘)\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ) < \tan(40^\circ) olduğundan a<ca < c elde edilir. Negatif olan bb en küçük olduğuna göre doğru sıralama b<a<cb < a < c olur.
Birinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların artış eğilimlerini ve birbirleriyle olan büyüklük ilişkilerini kullanarak sıralamayı tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin Sıralanması ve Bölgelere Göre İndirgeme
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru