Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde, f(x)=axf(x) = \frac{a}{x} eğrisine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu ile g(x)=x2−3xg(x) = x^2 - 3x eğrisine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu birbirine diktir.

Buna göre, aa gerçek sayısı kaçtır?

  1. A
    -8
  2. -4Cevap
  3. C
    -2
  4. D
    2
  5. E
    4

Cevap

Doğru cevap -4 değeridir.
Teğet doğrularının eğimleri, çizildikleri noktalardaki türev değerlerine eşittir. f(x)=axf(x) = \frac{a}{x} türevi f′(x)=−ax2f'(x) = -\frac{a}{x^2} olup x=2x = 2 için eğim −a4-\frac{a}{4} olur. g(x)=x2−3xg(x) = x^2 - 3x türevi g′(x)=2x−3g'(x) = 2x - 3 olup x=1x = 1 için eğim −1-1 olur. Doğrular birbirine dik olduğundan eğimlerinin çarpımı −1-1 olmalıdır. Buradan (−a4)⋅(−1)=−1\left(-\frac{a}{4}\right) \cdot (-1) = -1 eşitliği elde edilir ve a=−4a = -4 bulunur. Bu nedenle doğru yanıt −4-4 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonların türevlerini alın.
f′(x)=−ax2f'(x) = -\frac{a}{x^2} ve g′(x)=2x−3g'(x) = 2x - 3
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Teğetlerin çizildiği noktaların apsislerini türev fonksiyonlarında yerine yazarak teğet doğrularının eğimlerini bulun.
f(x)f(x) için x=2x = 2 noktasındaki teğet eğimi m1=f′(2)=−a4m_1 = f'(2) = -\frac{a}{4} ve g(x)g(x) için x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimi m2=g′(1)=−1m_2 = g'(1) = -1 olur.
Apsis değerleri türev fonksiyonuna yazılarak ilgili noktalardaki teğet doğrularının eğimleri elde edilir.
3
Teğet doğrularının birbirine dik olması koşulunu uygulayarak a parametresini hesaplayın.
m1⋅m2=−1  ⟹  (−a4)⋅(−1)=−1  ⟹  a4=−1  ⟹  a=−4m_1 \cdot m_2 = -1 \implies \left(-\frac{a}{4}\right) \cdot (-1) = -1 \implies \frac{a}{4} = -1 \implies a = -4 bulunur.
Dik kesişen iki doğrunun eğimlerinin çarpımı -1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetinin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değeridir. Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'dir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru